¿Cómo entender la compacidad?

Question

¿Cómo entender la compacidad en el espacio topológico de forma intuitiva?

Answer 1

Tal vez deberías pensar en la compacidad, como algo que lleva las propiedades locales a las propiedades globales. Por ejemplo, si $f:K\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, $K$ es compacto, y $f(x)>t_x>0$ para todo x, entonces se puede encontrar $t>0$ tal que $f(x)>t>0$ para todo x - por lo que de $f(x)>t_x>0$ punto, sabes que $f>t>0$ como una función. (Esto es una simple consecuencia del teorema de Weierstrass en $[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ )

Normalmente encontramos alguna propiedad que es cierta para todos los conjuntos abiertos suficientemente "pequeños", luego utilizamos la compacidad para reducir el caso a un número finito de conjuntos abiertos y utilizamos la inducción para demostrar que la propiedad es cierta para todo el espacio. Así es como yo entiendo la compacidad.

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Como escribieron los comentaristas debajo de este mensaje (y no enfaticé lo suficiente), usualmente usamos la compacidad para reducir problemas infinitos \conditions\restraints a un subconjunto finito que cubra todo el espacio, y luego utilizar algún argumento que funcione sólo para casos finitos (como la inducción, tomando max \min tomar sumas finitas, etc.). En mi ejemplo anterior, queríamos encontrar un mínimo sobre todos los límites inferiores, pero en el caso infinito esto suele ser sólo un mínimo (y puede ser cero), pero cuando reducimos a un caso finito hay un mínimo.

De este modo, podemos pensar en la compacidad como algo que nos permite utilizar algún argumento finito sobre cubiertas infinitas (y muchas veces transferir alguna propiedad de la cubierta a todo el espacio).

Answer 2

Como mencioné en otra pregunta tiendo a intuir la compacidad como una especie de "supercerrazón". Hay algunas razones para ello.

En primer lugar, en Espacios de Hausdorff todo subconjunto compacto se cerrará automáticamente.

En segundo lugar, en primer contable espacios, se puede pensar en la "cerrazón" como "cerrado bajo operaciones límite". Es decir, un conjunto $E$ es cerrado si y sólo si contiene los límites de todas las secuencias en $E$ . Por analogía, cada compacto subconjunto de un espacio contable en primer lugar es secuencialmente compacto -- es decir, toda secuencia tiene una subsecuencia convergente. (Nótese, sin embargo, que la inversa de esto no suele ser cierta en espacios contables en primer lugar).

En tercer lugar, en los espacios métricos, la compacidad equivale a ser completo y totalmente acotado. Esto puede verse como una generalización del Teorema de Heine-Borel, que clasifica los conjuntos compactos de $\mathbb{R}^n$ . En un esquema de este tipo, la completitud corresponde a la cerrazón, y la acotación total a la acotación.

Obsérvese que los espacios métricos son automáticamente Hausdorff y contables en primer lugar, por lo que todo lo anterior se aplica sin duda a los espacios métricos.

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Para los espacios topológicos generales (sin ningún supuesto de "Hausdorffness" o de primera contabilidad), también se puede intuir que los espacios topológicos compactos son aquellos que tienen relativamente pocos conjuntos abiertos. En efecto, si un conjunto $X$ es compacta bajo una topología dada, entonces también lo será bajo cualquier topología más débil (más gruesa).

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EDIT: Para añadir a la respuesta de Prometheus, yo también diría que la compacidad es una propiedad que juega especialmente bien con la continuidad ( Teorema del valor extremo , Teorema de Heine-Cantor ) y convergencia de funciones ( Teorema de Dini ). Como dijo Prometheus, esto se debe en parte a su papel en la reducción de problemas globales a locales -- o, quizás, de infinitos a finitos.

(Estoy pensando en particular en la prueba de Heine-Cantor que se basa en el hecho de que el ínfimo de un número finito de distancias positivas es positivo -- mientras que un número infinito de distancias positivas puede tener un ínfimo de cero).

Answer 3

En forma de entender la compacidad es verla en acción. A medida que aprendas más, verás cada vez más situaciones en las que la compacidad es útil, incluso fundamental. Con la acumulación de pruebas, como las capas geológicas, irás construyendo la comprensión. Un día te toparás con una nueva forma de utilizar la compacidad, un nuevo ángulo, y entonces verás que en realidad sólo habías entendido una parte... y así sucesivamente.

Creo firmemente que pedir comprender y, mucho peor, para comprensión intuitiva de las cosas cuando uno más o menos acaba de encontrárselas no es la forma correcta de llegar a la comprensión.

Answer 4

Yo también estaba buscando una buena motivación de la compacidad hasta que me encontré con este artículo escrito por Terry Tao que fue sugerido por Phil Ellison en MO. El artículo es una buena lectura y es realmente esclarecedor. El artículo se puede encontrar en aquí .

Answer 5

Para espacios suficientemente agradables, por ejemplo los espacios métricos, la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial. Me gusta pensar que la compacidad secuencial significa que las secuencias de puntos no pueden extenderse hasta el "infinito".