Distribución de $\tau/x^2$ donde $\tau$ es el primer tiempo de golpeo

Question

Estoy considerando el tiempo de golpeo $\tau=\inf\{t:|B_t|\geq x\}$ . Me han dicho que considere la martingala  $\cosh(\lambda B_t)\textrm{e}^{-\frac12\lambda^2t}$ . Sé que al dejar $\lambda=\sqrt{2\theta}$ podemos demostrar que la función generadora de momentos de $\tau$ es $\mathbb{E}(\textrm{e}^{-\theta\tau})=\frac1{\cosh\sqrt{2\theta}x}$ . La cuestión de seguimiento de esto es mostrar que $\tau/x^2$ por lo tanto, tiene una distribución independiente de $x$ Pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Debo diferenciar el MGF? Se agradece toda la ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Según su ecuación, $$E(e^{-\theta(\tau/x^2)}) = E(e^{-(\theta/x^2)\tau})= \frac{1}{\cosh(\sqrt{2\theta/x^2}x)}=\frac{1}{\cosh(\sqrt{2\theta})},$$ que es independiente de $x.$