Complicación de la regla de L'Hopital

Question

$\textrm{Let } f(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{g(x)}{x}~, & \!\! x \neq 0 \\ 0~, & \!\! x = 0 \end{cases} \textrm{ for all } x \in \mathbb{R}.$

$\textrm{Assume } g(0) = g'(0) = 0 \wedge g''(0) = 17.$

$\textrm{Want To Prove } f'(0) = \displaystyle\frac{17}{2}.$

Información necesaria para el uso de la regla de L'Hopital:
Lemas importantes

He demostrado que $f$ es continua en $0$ para que $f'(0)$ puede calcularse utilizando la definición de límite.

Para calcular $f'(0)$ Quiero utilizar la regla de L'Hopital (LHR).

$f'(0)$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(0 + x) - f(0)}{x}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - 0}{x}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{g(x)}{x}}{x}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^2}$

$= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g'(x)}{2x}~~~$ Según LHR: Justificación

Para conseguir $\displaystyle\frac{17}{2}$ Debo usar la regla de L'Hopital de nuevo para obtener $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g''(x)}{2}$ .

Sin embargo, hasta ahora, no puedo demostrar que $g''(x)$ nunca es $0$ como $x \rightarrow 0$ , que es una propiedad importante que justifica el uso de LHR.

En otras palabras, no tengo ningún supuesto de continuidad o tercera derivada para demostrar que existe un intervalo que contiene $0$ donde $g''(x)$ nunca es $0$ utilizando la información que he obtenido.

Este es mi intento hasta ahora de justificar mi segundo uso de LHR: Justificación 2

Como puedes ver, me falta el último paso en cuanto a $g''(x)$ .

Se agradecería cualquier ayuda.

Hágame saber si hay alguna función $g$ donde $f'(0)$ no sería $\displaystyle\frac{17}{2}$ En ese caso, debo suponer algo sobre $g$ o $g''$ .

Answer 1

Obsérvese que no es necesario recurrir a la Regla de L'Hospital. Si $f'(0)$ existe, entonces es igual al límite dado por

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}f'(0)&=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{g(x)-g(0)}x}{x}\\\\ &=\frac12\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-2g(0)+g(-x)}{x^2}\\\\ &=\frac12g''(0) \end{align}$$

¡Y ya está!

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Como alternativa, podemos aplicar la regla de L'Hospital una vez y escribir

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}f'(0)&=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{g(x)-g(0)}x}{x}\\\\ &\overbrace{=}^{\text{LHR}}\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{2x}\\\\ &=\frac12\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)-g'(0)}{x}\\\\ &=\frac12g''(0) \end{align}$$

Answer 2

Si $\phi(x) \to 0$ como $x \to 0$ y también $\psi(x) \to 0$ como $x \to 0$ y si está interesado en

$$\lim_{x \to 0}\,\frac{\phi(x)}{\psi(x)},$$

y si además $\phi$ y $\psi$ son diferenciables en $0$ entonces

$$\lim_{x \to 0}\,\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\,=\,\frac{\phi'(0)}{\psi'(0)},$$

si también es cierto que $\psi'(0)$ no es cero. Este lema es suficiente para su problema.

Quieres mostrar:

$$f'(0)\,=\,\lim_{h \to 0}\,\frac{f(h)}{h}\,=\,\lim_{h \to 0}\,\frac{g(h)}{h^2}\,=\,\frac{17}{2}.$$

Por L'hopital, ya que $g$ es continua en cero,

$$\lim_{h \to 0}\,\frac{g(h)}{h^2}\,=\,\lim_{h \to 0}\,\frac{g'(h)}{2h},$$

si este último existe. Tenemos de nuevo una forma "cero/cero", ya que $g'$ es continua en cero. Pero $g'$ es de hecho diferenciable en cero, por lo que utilizamos el lema:

$$\,\lim_{h \to 0}\,\frac{g'(h)}{2h}\,=\,\frac{g''(0)}{2}.$$

( Alternativamente, como señala Mark Viola, este último resultado se deduce directamente de la definición de $g''(0)$ . )