Si no es asociativo, ¿entonces qué?

Question

Considere una operación binaria $*$ actuando a partir de un conjunto $X$ a sí mismo. Es útil y estándar trabajar con operaciones que son asociativas, tales como $(a*b)*c = a*(b*c)$ . ¿Qué pasa con las operaciones que no son asociativas?

¿Hay alguna manera de caracterizar todos los tipos posibles de tales operaciones binarias $*$ que no son asociativas? Por ejemplo, ¿podemos decir que si $*$ no es asociativo, entonces debe satisfacer una de las otras propiedades posibles, dependiendo de cualquier otra operación adicional que tengamos sobre nuestro conjunto $X$ ?

Si además añadimos alguna estructura adicional a nuestro conjunto $X$ para que podamos sumar elementos y multiplicar por escalares, es estándar cuantificar la cantidad que dos elementos de $X$ se intercambian entre sí en virtud de $*$ calculando el conmutador $[a,b] = a*b - b*a$ . ¿Es útil considerar un "conmutador asociativo $[abc] = (a*b)*c - a*(b*c)$ para un determinado no asociativo $*$ ?

Por último, sé por las álgebras de Lie que si $*$ anticonmutación entonces puede ser natural considerar una identidad de Jacobi

$(a*b)*c = a*(b*c) - b*(a*c)$

¿Existen otras extensiones naturales de la asociatividad en diferentes escenarios? ¿Por qué las álgebras de Lie utilizan esta identidad de Jacobi y no, por ejemplo

$(a*b)*c = a*(b*c) + k b*(a*c)$

Donde k es un escalar?

Answer 1

¿Hay alguna forma de caracterizar todos los tipos de operaciones posibles que no sean asociativas?

Creo que esto es demasiado amplio y subjetivo para responder. ¿Qué es exactamente un "tipo" de operación? Supongo que ya estás hablando de operaciones binarias, así que presumiblemente un "tipo" de operación es aquel que satisface ciertas identidades, como la identidad asociativa. Me vienen a la mente algunos ejemplos concretos:

• Identidad de Jacobi para algberas de Lie,
• Identidad de Jordan para álgebras de Jordan,
• Identidades de Moufang para los bucles,
• Leyes autodistributivas para racks y quandles,

y seguramente otros (no soy un experto en álgebra no asociativa). Muchas de las identidades anteriores no son identidades de tres variables, pero aún así. En general, las álgebras interesantes y sus identidades no se eligen al azar, sino que se deducen de ciertos ejemplos canónicos cuyas propiedades se generalizan. Las álgebras pretenden representar ciertas estructuras, y las identidades lo aseguran. Por ejemplo, las álgebras de Lie linealizan los grupos de Lie, y de forma similar las álgebras de Jordan linealizan los espacios proyectivos, las identidades de Moufang generalizan la alternatividad de los octoniones, los bastidores y las cuandras representan cómo los grupos actúan sobre sí mismos por conjugación, etc.

En última instancia, hay un "tipo" de operación para cada conjunto posible de "palabras" que se puede escoger del magma libre (o si se permite la adición, el álgebra libre no asociativa) en tantos generadores. (Va a haber redundancia en esto - diferentes conjuntos de palabras pueden producir la misma clase de álgebras).

Podemos decir que si ∗ no es asociativo, entonces debe satisfacer en cambio una de conjunto de otras posibles propiedades, dependiendo de cualquier otra operación adicional que tengamos sobre nuestro conjunto $X$ ?

Probablemente no. Por ejemplo, el álgebra libre no asociativa sobre algún conjunto generador me parece un candidato a no tener ninguna "propiedad" (es decir, identidades).

¿Es útil considerar alguna vez un "conmutador asociativo" para un ∗ no asociativo dado?

Sí. El asociador es útil, por ejemplo, para demostrar (eficientemente) que los octoniones son un álgebra alternativa (que está a medio camino de ser asociativa), lo que a su vez es útil para muchas cosas como simplificar las expresiones de los octoniones y clasificar las subálgebras y razonar sobre los automorfismos de $\mathbb{O}$ . El asociador octonión también da lugar al producto cruzado ternario excepcional 8D .

Probablemente se puede hacer mucho más con ella en álgebras generales no asociativas, pero no lo sé.

¿Por qué las álgebras de Lie utilizan esta identidad de Jacobi

Consideremos el origen de las álgebras de Lie. Empecemos con un grupo de Lie $G$ . El espacio tangente $\mathfrak{g}$ te dice todas las direcciones a las que pueden apuntar los subgrupos de un parámetro. La operación de adición en $\mathfrak{g}$ corresponde a la operación de grupo en $G$ . De hecho, el exponencial $\exp:\mathfrak{g}\to G$ es aproximadamente lineal en una vecindad de $0$ con término de error cuadrático. Como $G$ actúa sobre sí mismo por conjugación (y hay muchas fuentes que enumeran ejemplo tras ejemplo para demostrar que la conjugación en un grupo es muy importante), así también actúa sobre $\mathfrak{g}$ por conjugación. Definir $\mathrm{Ad}_A(X)=AYA^{-1}$ para $A\in G,Y\in\mathfrak{g}$ . Si diferenciamos esto en $A=I$ con el vector tangente $X$ obtenemos $\mathrm{ad}_X(Y)=XY-YX=[X,Y]$ el "corchete conmutador". Obsérvese que la acción adyacente preserva esta operación, y si diferenciamos $\mathrm{Ad}_A[Y,Z]=[\mathrm{Ad}_AY,\mathrm{Ad}_AZ]$ en $A=I$ de nuevo con la regla del producto obtenemos la identidad $\mathrm{ad}_X[Y,Z]=[\mathrm{ad}_XY,Z]+[Y,\mathrm{ad}_XZ]$ que dice $\mathrm{ad}_X$ es una "derivación" (es decir, satisface la "regla del producto" como una derivada, pero con el paréntesis del conmutador en lugar de la multiplicación). Esta identidad puede reordenarse a la forma más cíclicamente simétrica que se conoce como identidad de Jordan.

Todas las demás identidades que he enumerado anteriormente tienen historias similares sobre su procedencia. La identidad de Jordan proviene de una investigación algebraica de los espacios de matrices hermitianas (que son el ámbito de los operadores de proyección, que corresponden a puntos en espacios proyectivos). Al parecer, la identidad de Jordan también tiene una interpretación en términos de la simetría de inversión de un espacio simétrico de Riemann, pero no sé cómo va esa historia. La identidad de Moufang proviene de la investigación de las álgebras de división reales normadas, lo que lleva a los octoniones, que conducen a las identidades alternativas, y entonces las identidades de cuatro términos más simples que uno puede comprobar son aquellas en las que se repite un término. La ley autodistributiva para bastidores y cuandras proviene del hecho de que la conjugación es un automorfismo en un grupo.

Answer 2

"¿Qué pasa con las operaciones que no son asociativas?" En muchas áreas nos encontramos con estructuras algebraicas no asociativas, por ejemplo, en la teoría de las operadas, la homología de los conjuntos de partición, la teoría de la deformación, las estructuras geométricas sobre grupos de Lie, la teoría de la renormalización en física y muchas más.

En cierto sentido se puede responder a tu pregunta de qué más puede pasar. Una forma es, clasificar todas las álgebras no asociativas definidas por la acción de subespacios invariantes del grupo simétrico $S_3$ sobre el asociador de las leyes consideradas, véase por ejemplo aquí . Pero, por supuesto, estas no son todas las posibilidades.

Un ejemplo bien conocido de una estructura de álgebra no asociativa relacionada con las álgebras de Lie son álgebras pre-Lie (también llamadas álgebras simétricas a la izquierda). Satisfacen la identidad $$ (x,y,z)=(y,x,z) $$ para todos $x,y,z\in A$ , donde $(x,y,z)$ es el asociador. En particular, las álgebras asociativas son un ejemplo trivial donde ambos lados son cero, es decir, con $0=0$ . Entonces el conmutador $$ [x,y]=xy-yx $$ es un soporte de Lie, véase ¿Existe una relación entre los asociadores y los conmutadores?

El álgebra previa a la mentira surge en el álgebra, la geometría y la física, véase mi artículo de estudio aquí . Desempeñan un papel importante para los grupos cristalográficos, los grupos fundamentales de las manifiestas planas de afinidad (Milnor), la teoría de la deformación de Gerstenhaber, los operadores de Rota-Bater y las ecuaciones de Yang-Baxter, por citar sólo algunas palabras clave.