Cómo encontrar $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1-\tan x }}$ ?

Question

Cómo encontrar $\;\;\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1-\tan x }}$ ?

Answer 1

Sugerencia : Multiplica el numerador y el denominador por $\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt {1-\tan x}$ .

Su denominador será $1 + \tan x - (1-\tan x) = 2\tan x$ .

Answer 2

Tenemos $$f(x) = \dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{1+\tan(x)} - \sqrt{1-\tan(x)}} = \dfrac{\sin(2x)}{\sqrt{1+\tan(x)} - \sqrt{1-\tan(x)}} \dfrac{\sqrt{1+\tan(x)} + \sqrt{1-\tan(x)}}{\sqrt{1+\tan(x)} + \sqrt{1-\tan(x)}}$$ Por lo tanto, $$f(x) = \dfrac{\sin(2x) \left(\sqrt{1+\tan(x)} + \sqrt{1-\tan(x)}\right)}{1+\tan(x) - 1 + \tan(x)} = \dfrac{2\sin(x)\cos(x) \left(\sqrt{1+\tan(x)} + \sqrt{1-\tan(x)}\right)}{2\tan(x)}$$ Esto nos da $$f(x) = \cos^2(x) \left(\sqrt{1+\tan(x)} + \sqrt{1-\tan(x)}\right)$$ Ahora tome el límite como $x \to 0$ para conseguir $f(x) \to 2$ .

Answer 3

Como ya has recibido buenas respuestas, déjame mostrarte lo que puedes hacer utilizando las series de Taylor. Sabes que, para valores pequeños de $x$ , $\tan(x)\approx x$ y que $\sin(x)\approx x$ . Así que la expresión es casi $$\frac{2x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$$ Recuerda que $\sqrt{1+y}\approx \frac y2$ . Así que la expresión es $$\frac{2x}{(\frac x2)-(-\frac x2)}$$