Mostrar series de funciones es uniformemente convergente en $[a,\infty)$ para $a>0$ .

Question

Me gustaría demostrar que $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x) $$ es uniformemente convergente en $[a,\infty)$ para $a>0$ donde $$ f_n(x) = \frac{nx}{1+n^4x^2} $$

He descubierto que $f_n$ tiene un máximo de $\frac{1}{2n}$ en el intervalo $[0,\infty)$ , concretamente en $x=\frac{1}{n^2}$ (excepto para $f_0(x)=0$ para todos $x$ ). Esto significa que $$ f\bigg(\frac{1}{n^2}\bigg) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n} \geq \sum_{n=0}^\infty \frac{nx}{1+n^4x^2} \text{ for all }x\in[0,\infty) $$

No estoy seguro de dónde ir a partir de aquí.

Answer 1

No es necesario utilizar el Cálculo: utilice la desigualdad $2nx \leq n^{2}+x^{2}$ . $$f_n(x) \leq \frac {n^{2}+x^{2}} {2(1+n^{4}x^{2})} \leq \frac {n^{2}+x^{2}} {2n^{4}x^{2}}=\frac 1 {2n^{2}a^{2}} +\frac 1 {2n^{4}}$$ y la serie $\sum \frac 1 {2n^{2}a^{2}}$ y $\frac 1 {2n^{4}}$ ambos convergen.

Answer 2

Has ido en la dirección correcta. Ahora, como escribió Crostul, se le pide que demuestre la convergencia sólo para $a>0$ por lo que debe considerar sólo los rangos $n\geqslant N$ donde $N$ es tal que: $a> \frac{1}{N^2}$ para que $f_n(a)$ es el máximo de $f_n$ en $[a,\infty)$ .

Entonces, se puede demostrar la convergencia normal de la serie $(\sum f_n)_{n\geqslant N}$ que es sólo $\sum_{k=0}^{N-1} f_k(x)$ lejos de $(\sum f_n)_{n\geqslant 0}$ para $x\in [a,\infty)$ ya que, para $n\geqslant N$ :

$$ ||f_n||_\infty = f_n(a) = \frac{na}{1+n^4a^2} = O(\frac{1}{n^3}) $$

como $n\to \infty$ .

Así, $(\sum ||f_n||_\infty)_{n\geqslant N}$ converge ya que $(\sum \frac{1}{n^3})_{n\geqslant N}$ converge (serie de Riemann).

Se establece la convergencia normal e implica la convergencia uniforme.