Un aproximado de autovalor de a $T \in B(X)$.

Question

Este es un problema de Conway Análisis Funcional:

Definición de Un aproximado de autovalor de a $T \in B(X)$ es un escalar $\lambda$ tal que hay una secuencia de vectores unitarios $x_{n} \in X$ tal que $T(x_{n}) - \lambda x_{n} \rightarrow 0$.

1. Demostrar que cualquier autovalor de a $T$ es aproximadamente un autovalor de a $T$, y que cualquier aproximado autovalor de a $T$ se encuentra en el espectro de $T$, que denotamos por a $\sigma(T)$.

2. Si $X$ es un espacio de Hilbert, muestran que $\lambda \in \sigma(T)$ si y sólo si $\lambda$ es aproximadamente un autovalor de a $T$ o $\overline{\lambda}$ es un autovalor de a $T^{*}$.

Answer 1

Problema 1

Para esta parte, vamos a suponer $X$ a ser un espacio de Banach.

Deje $T \in B(X)$. Entonces cualquier autovalor de a $T$ es claramente un aproximado de autovalor.

A continuación, supongamos que $\lambda \in \mathbb{C}$ es aproximadamente un autovalor de a $T$, y deje $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de vectores unitarios de $X$ tal que $$\lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n}) = \mathbf{0}_{X}.$$

Por medio de la contradicción, supongamos que $T - \lambda I$ es invertible en a $B(X)$. Entonces $$\begin{align} \lim_{n \to \infty} x_{n} &= \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)^{-1} \left( (T - \lambda I)(x_{n}) \right) \\ &= (T - \lambda I)^{-1} \left( \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n}) \right) \quad (\text{As %#%#% is continuous.}) \\ &= {(T - \lambda I)^{-1}}(\mathbf{0}_{X}) \\ &= \mathbf{0}_{X}. \end{align}$$ Sin embargo, esto es imposible, porque la $(T - \lambda I)^{-1}$ todos los $\| x_{n} \|_{X} = 1$. La hipótesis sobre el invertibility de $n \in \mathbb{N}$ es falso, por lo que llegamos a la conclusión de que $T - \lambda I$.

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Problema 2

Para esta parte, vamos a suponer $\lambda \in {\sigma_{B(X)}}(T)$ a ser un espacio de Hilbert.

Deje $X = \mathcal{H}$. Si $\lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T)$ es aproximadamente un autovalor de a $\lambda$, entonces estamos de hecho; de lo contrario, supongamos que $T$ es no un aproximado de autovalor. A continuación, $\lambda$ está delimitada desde abajo, es decir, existe una $T - \lambda I$ tal que $$(\diamondsuit) \quad \forall x \in \mathcal{H}: \quad \| (T - \lambda I)(x) \|_{\mathcal{H}} \geq c \| x \|_{\mathcal{H}}.$$

Reivindicación 1: $c \in \mathbb{R}_{>0}$ es un denso lineal subespacio de $\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right)$.

Prueba: Claramente, $\mathcal{H}$ implica que el $(\diamondsuit)$, lo que produce $$\begin{align} \overline{\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right)} &= \overline{\text{Range}((T - \lambda I)^{*})} \\ &= (\text{Ker}(T - \lambda I))^{\perp} \\ &= (\mathbf{0}_{\mathcal{H}})^{\perp} \\ &= \mathcal{H}. \end{align}$$ Como $\text{Ker}(T - \lambda I) = \{ \mathbf{0}_{\mathcal{H}} \}$ es un subespacio lineal de $\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right)$, hemos terminado. $\mathcal{H}$

Reivindicación 2: $\quad \spadesuit$.

Prueba: vamos a probar, primero, que el $\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) = \mathcal{H}$ es cerrado en $\text{Range}(T - \lambda I)$. Deje $\mathcal{H}$ ser una secuencia en $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\mathcal{H}$ converge a algunos $((T - \lambda I)(x_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$. Vemos entonces por $y \in \mathcal{H}$ que $(\diamondsuit)$ es una secuencia de Cauchy en $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, el cual debe tener un límite $\mathcal{H}$ gracias a la integridad de $x$. Como tal, $$y = \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n}) = (T - \lambda I) \left( \lim_{n \to \infty} x_{n} \right) = (T - \lambda I)(x).$$ Por lo tanto, $\mathcal{H}$, lo que demuestra que $y \in \text{Range}(T - \lambda I)$ es cerrado en $\text{Range}(T - \lambda I)$.

La aplicación de la Cerrada Gama Teorema, nos encontramos con que $\mathcal{H}$ también está cerrado en $\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right)$. Por Reclamación $\mathcal{H}$, por lo tanto, a la conclusión de que $1$. $\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) = \mathcal{H}$

Como $\quad \spadesuit$,$\lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T)$. Entonces como $\overline{\lambda} \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T^{*})$ es surjective (por Reclamación $T^{*} - \overline{\lambda} I$), se sigue de las Delimitada Inversa Teorema que $2$ no puede ser inyectiva. Por lo tanto, $T^{*} - \overline{\lambda} I$ es un autovalor de a $\overline{\lambda}$.

Trabajando hacia atrás ahora, vamos a $T^{*}$. Si $\lambda \in \mathbb{C}$ es aproximadamente un autovalor de a$\lambda$), luego por el Problema de $T$,$1$. Si $\lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T)$ es un autovalor de a$\overline{\lambda}$,$T^{*}$, lo que implica que $\overline{\lambda} \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T^{*})$.

Conclusión: Vamos a $\lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T)$ ser un espacio de Hilbert y $\mathcal{H}$. A continuación, $T \in B(\mathcal{H})$ si y sólo si $\lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T)$ es aproximadamente un autovalor de a $\lambda$ o $T$ es un autovalor de a $\overline{\lambda}$.