Problema 1
Para esta parte, vamos a suponer $ X $ a ser un espacio de Banach.
Deje $ T \in B(X) $. Entonces cualquier autovalor de a $ T $ es claramente un aproximado de autovalor.
A continuación, supongamos que $ \lambda \in \mathbb{C} $ es aproximadamente un autovalor de a $ T $, y deje $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser una secuencia de vectores unitarios de $ X $ tal que
$$
\lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n}) = \mathbf{0}_{X}.
$$
Por medio de la contradicción, supongamos que $ T - \lambda I $ es invertible en a $ B(X) $. Entonces
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} x_{n}
&= \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)^{-1} \left( (T - \lambda I)(x_{n}) \right) \\
&= (T - \lambda I)^{-1} \left( \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n}) \right)
\quad (\text{As %#%#% is continuous.}) \\
&= {(T - \lambda I)^{-1}}(\mathbf{0}_{X}) \\
&= \mathbf{0}_{X}.
\end{align}
Sin embargo, esto es imposible, porque la $ (T - \lambda I)^{-1} $ todos los $ \| x_{n} \|_{X} = 1 $. La hipótesis sobre el invertibility de $ n \in \mathbb{N} $ es falso, por lo que llegamos a la conclusión de que $ T - \lambda I $.
Problema 2
Para esta parte, vamos a suponer $ \lambda \in {\sigma_{B(X)}}(T) $ a ser un espacio de Hilbert.
Deje $ X = \mathcal{H} $. Si $ \lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T) $ es aproximadamente un autovalor de a $ \lambda $, entonces estamos de hecho; de lo contrario, supongamos que $ T $ es no un aproximado de autovalor. A continuación, $ \lambda $ está delimitada desde abajo, es decir, existe una $ T - \lambda I $ tal que
$$
(\diamondsuit) \quad \forall x \in \mathcal{H}: \quad
\| (T - \lambda I)(x) \|_{\mathcal{H}} \geq c \| x \|_{\mathcal{H}}.
$$
Reivindicación 1: $ c \in \mathbb{R}_{>0} $ es un denso lineal subespacio de $ \text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) $.
Prueba: Claramente, $ \mathcal{H} $ implica que el $ (\diamondsuit) $, lo que produce
\begin{align}
\overline{\text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right)}
&= \overline{\text{Range}((T - \lambda I)^{*})} \\
&= (\text{Ker}(T - \lambda I))^{\perp} \\
&= (\mathbf{0}_{\mathcal{H}})^{\perp} \\
&= \mathcal{H}.
\end{align}
Como $ \text{Ker}(T - \lambda I) = \{ \mathbf{0}_{\mathcal{H}} \} $ es un subespacio lineal de $ \text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) $, hemos terminado. $ \mathcal{H} $
Reivindicación 2: $ \quad \spadesuit $.
Prueba: vamos a probar, primero, que el $ \text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) = \mathcal{H} $ es cerrado en $ \text{Range}(T - \lambda I) $. Deje $ \mathcal{H} $ ser una secuencia en $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ tal que $ \mathcal{H} $ converge a algunos $ ((T - \lambda I)(x_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $. Vemos entonces por $ y \in \mathcal{H} $ que $ (\diamondsuit) $ es una secuencia de Cauchy en $ (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} $, el cual debe tener un límite $ \mathcal{H} $ gracias a la integridad de $ x $. Como tal,
$$
y = \lim_{n \to \infty} (T - \lambda I)(x_{n})
= (T - \lambda I) \left( \lim_{n \to \infty} x_{n} \right)
= (T - \lambda I)(x).
$$
Por lo tanto, $ \mathcal{H} $, lo que demuestra que $ y \in \text{Range}(T - \lambda I) $ es cerrado en $ \text{Range}(T - \lambda I) $.
La aplicación de la Cerrada Gama Teorema, nos encontramos con que $ \mathcal{H} $ también está cerrado en $ \text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) $. Por Reclamación $ \mathcal{H} $, por lo tanto, a la conclusión de que $ 1 $. $ \text{Range} \left( T^{*} - \overline{\lambda} I \right) = \mathcal{H} $
Como $ \quad \spadesuit $,$ \lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T) $. Entonces como $ \overline{\lambda} \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T^{*}) $ es surjective (por Reclamación $ T^{*} - \overline{\lambda} I $), se sigue de las Delimitada Inversa Teorema que $ 2 $ no puede ser inyectiva. Por lo tanto, $ T^{*} - \overline{\lambda} I $ es un autovalor de a $ \overline{\lambda} $.
Trabajando hacia atrás ahora, vamos a $ T^{*} $. Si $ \lambda \in \mathbb{C} $ es aproximadamente un autovalor de a$ \lambda $), luego por el Problema de $ T $,$ 1 $. Si $ \lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T) $ es un autovalor de a$ \overline{\lambda} $,$ T^{*} $, lo que implica que $ \overline{\lambda} \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T^{*}) $.
Conclusión: Vamos a $ \lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T) $ ser un espacio de Hilbert y $ \mathcal{H} $. A continuación, $ T \in B(\mathcal{H}) $ si y sólo si $ \lambda \in {\sigma_{B(\mathcal{H})}}(T) $ es aproximadamente un autovalor de a $ \lambda $ o $ T $ es un autovalor de a $ \overline{\lambda} $.
