Para $f(I\setminus\{0\})=\left (\frac{(1+h(x))^{1/h(x)}}{e}\right)^{1/x}$ encontrar $\lim_{x \to 0}f(x) = \sqrt{1/e^{h'(0)}}$

Question

El tema es Polinomios de Taylor y Malcaurin .

Dejemos que $h(x)$ sea una función continua en el intervalo $I\ni x=0$ .

Diferenciable en $x = 0$

Y: $$h(x):=\begin{cases}0,&x=0\\y\in(-1,+\infty)\setminus\{0\},&x\in I\setminus\{0\}\end{cases} $$

Definir:

$$ f(I\setminus\{0\}) = \left(\frac{(1+h(x))^{\frac{1}{h(x)}}}{e}\right)^{\frac{1}{x}}$$ Demuestra eso: $$ \lim_{x \to 0}f(x) =\sqrt{\frac{1}{e^{h'(0)}}} $$

La pista para el ex. era tomar $\ln(f(x))$

---

Lo que hice:

Como la pista sugería, hice $\ln(f(x))$

Y lo conseguí: $$ \ln(f(x)) = \frac{1}{xh(x)}\ln(1+h(x)) - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\left(\frac{1}{h(x)}\ln(1+h(x)) - 1\right) $$

He mirado el término al que tengo que llegar. Veo $h'(0)$ .

Por lo tanto, desarrollé un Polinomio de Maclaurin :

$$ P_n(x) = h(0) + h'(0)x + R_n(x) = 0 + h'(0) + R_n(x) $$

Y ahora estoy bastante atascado.

Pensé en hacer un Maclaurin para $\ln(1+h(x))$ en su lugar, tal vez, pero también, no veo que me lleve a ninguna parte.

¿Me das una pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

A partir de $$\ln(f(x))=\frac{1}{xh(x)}(\ln(1+h(x))-h(x))$$ y utilizando la serie de Taylor en $x=0$ para $\ln(1+x)$ Es decir, $$\ln(1+x)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}$$ tienes que $$\frac{1}{xh(x)}(\ln(1+h(x))-h(x))=\frac{1}{x}\left(-\frac{h(x)}{2}+h(x)F(h(x))\right)=-\frac{h(x)}{x}+\frac{h(x)}{x}F(h(x))$$ donde $F(h(x))\to 0$ cuando $x\to 0.$ Porque $h$ es diferenciable en $x=0$ y $h(0)=0$ se obtiene $$\lim_{x\to 0}\ln f(x)=-\frac{h'(0)}{2}.$$