He proporcionado un algoritmo de cómo calcualte los coordiantes de punto $Z$ si supones que estás en el plano (no en la esfera) y las coordenadas de los otros puntos están todas en coordenadas cartesianas planas. Esto significa que tendrás que recalcular las coordenadas de geográficas a cartesianas planas.
Primero voy a escribir el algoritmo, y después, si lo deseas, puedes leer la derivación de las fórmulas.
Algoritmo. Entrada: Punto $X \, (x_1,x_2)$ , punto $Y\, (y_1, y_2)$ y la posición del barco $B \, (b_1, b_2)$ .
Paso 1. Calcular \begin{align} &|XY|^2 = (y_1-x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2\\ &|XB|^2 = (b_1-x_1)^2 + (b_2 - x_2)^2\\ &(\vec{XY} \circ \vec{XB}) = (y_1-x_1)(b_1-x_1) + (y_2-x_2)(b_2-x_2) \end{align} Paso 2. Si $(\vec{XY}\circ\vec{XB}) \leq |XY|^2$ set $$ k = \frac{1}{|XY|^2}\left((\vec{XY}\circ\vec{XB}) + \sqrt{2500\,|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}\right)$$ Si no, si $(\vec{XY}\circ\vec{XB}) > |XY|^2$ set $$ k = \frac{1}{|XY|^2}\left((\vec{XY}\circ\vec{XB}) - \sqrt{2500\,|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}\right)$$ Paso 3. Las coordenadas del punto $Z$ son $$Z \,\, \Big(\, x_1 + k\,(y_1-x_1),\,x_2 + k\,(y_2-x_2)\,\Big)$$
En la sintaxis de Matlab:
X = [x1, x2]; %coordinates of X
Y = [y1, y2]; %coordinates of Y
B = [b1, b2]; %coordinates of the boat
Z = [0, 0]; %just initialization of the output Z
distance_XY_2 = (Y(1) - X(1))^2 + (Y(2) - X(2))^2;
distance_XB_2 = (B(1) - X(1))^2 + (B(2) - X(2))^2;
XY_dot_XB = (Y(1) - X(1))*(B(1) - X(1)) + (Y(2) - X(2))*(B(2) - X(2));
if XY_dot_XB <= distance_XY_2
k = ( XY_dot_XB + sqrt( 2500*distance_XY_2 - distance_BY_2*distance_XY_2 + XY_dot_XB^2) )/(distance_XY_2);
elsif XY_dot_XB > distance_XY_2
k = ( XY_dot_XB - sqrt( 2500*distance_XY_2 - distance_BY_2*distance_XY_2 + XY_dot_XB^2) )/(distance_XY_2);
end
Z(1) = X(1) + k*(Y(1) - X(1)); %the first coordinate of Z
Z(2) = X(2) + k*(Y(2) - X(2)); %the second coordinate of Z
Derivación de las fórmulas del algoritmo: Para justificar el algoritmo, se pueden utilizar vectores y sus longitudes para derivar las fórmulas. Sea $$\vec{XY} = Y - X = (y_1, y_2) - (x_1,x_2) = (y_1 - x_1, \, y_2 - x_2)$$ y $$|XY| = \sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}$$
- Calcular el vector $\frac{\vec{XY}}{|XY|} = \frac{(y_1-x_1, \, y_2-x_2)}{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}} = \left(\frac{y_1-x_1}{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}\, , \,\, \frac{y_1-x_1}{\sqrt{(y_2-x_2)^2+(y_2-x_2)^2}}\right)$
- Calcular el vector $\vec{XB} = B - X = (b_1 - x_1, \, b_2 - x_2)$
- Calcular el producto punto $$\left(\frac{\vec{XY}}{|XY|}\circ\vec{XB}\right) = \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} = \frac{(y_1-x_1)(b_1-x_1) + (y_2-x_2)(b_2-x_2)}{\sqrt{(y_2-x_2)^2+(y_2-x_2)^2}}$$
- La cantidad $h_B = |BH_B| = \sqrt{|XB|^2 - \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}{|XY|^2}}$ es la distancia entre el punto $B$ y la proyección ortogonal de $B$ en la línea $XY$ , denotado por $H_B$ . Esto se basa en el teorema de Pitágoras del triángulo rectángulo $\Delta \, XBH_B$ .
- Por el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo $\Delta BZH_B$ para el que conocemos la hipotenusa $|BZ| = 50$ y el lado $|BH_B| = h_B$ podemos calcular el tercer lado \begin{align} |ZH_B| &= \sqrt{|BZ|^2 - h _B^2} = \sqrt{50^2 - h _B^2} \end{align}
- Desde $Z$ está en la línea $XY$ el vector $\vec{XZ}$ se alinea con el vector $\vec{XY}$ y por lo tanto $\vec{XZ}$ se alinea con el vector unitario $\frac{\vec{XY}}{|XY|}$ . Además, la distancia $|XZ|$ es la suma de las distancias (orientadas) $|XH_B|$ y $|ZH_B|$ es decir $$|XZ| = \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} + |ZH_B| = \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} + \sqrt{50^2 - h _B^2} $$ si $\frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} \leq |XY|$ y $$|XZ| = \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} - |ZH_B| = \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} - \sqrt{50^2 - h _B^2} $$ si $\frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} > |XY|$
Por lo tanto, $$\vec{XZ} = |XZ| \, \frac{\vec{XY}}{|XY|}$$
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En consecuencia, tenemos \begin{align}\vec{XZ} &= \left(\frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} \pm \sqrt{50^2 - h_B^2} \right)\, \frac{\vec{XY}}{|XY|} \\ &= \left(\frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} \pm \sqrt{2500 - |XB|^2 + \frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}{|XY|^2}}\right)\, \frac{\vec{XY}}{|XY|}\\ &= \left(\frac{(\vec{XY}\circ\vec{XB})}{|XY|} \pm \sqrt{\frac{2500|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}{|XY|^2}}\right)\, \frac{\vec{XY}}{|XY|}\\ &= \frac{1}{|XY|^2}\left((\vec{XY}\circ\vec{XB}) \pm \sqrt{2500|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}\right)\, \vec{XY} \end{align}
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Así, si $(\vec{XY}\circ\vec{XB}) \leq |XY|^2$ $$\vec{XZ} = \frac{1}{|XY|^2}\left((\vec{XY}\circ\vec{XB}) + \sqrt{2500|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}\right)\, \vec{XY}$$ y si $(\vec{XY}\circ\vec{XB}) > |XY|^2$ $$\vec{XZ} = \frac{1}{|XY|^2}\left((\vec{XY}\circ\vec{XB}) - \sqrt{2500|XY|^2 - |XB|^2|XY|^2 + (\vec{XY}\circ\vec{XB})^2}\right)\, \vec{XY}$$
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Las coordenadas del punto $Z$ vienen dadas por $$Z = X + \vec{XZ}$$
