Análisis con origami.

Question

Utilizo este lugar por primera vez. Normalmente tenía muchas preguntas en sci.math.
Hola profesor~

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Hay un papel rectangular(P1).
Dobla uno de los cuatro puntos de P1 de manera que esté en uno de los dos lados de P1 que no se encontraron con el punto. por supuesto, dos bordes se superponen.
(Otra expresión - Doblar una diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda hasta el borde derecho (o inferior) del papel).
Recorta la parte superpuesta para que el papel hecho sea un papel rectangular(P2).

Repitamos este proceso. Así, P3, P4, ... , Pn, ... (Todos son rectángulos).
y P1, P2, ..., Pn, ... Estos son "no" todos los cuadrados. (condición dada)
Sea Sn el área de Pn.

Cuando $$\lim_{n\to\infty} \frac{S_{n+2}}{S_n} = L$$ Encuentra todos los valores posibles de L.

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Hm... complejo.
Sin pérdida de generalidad, Fije el P1 en la anchura t, longitud 1.(t>1)
Como Pi no es cuadrado para cualquier i, t no es un número racional.
entonces, t es irracional.
Porque sí,
Fijar el P1 en anchura t, longitud 1 (t>1).
Supongamos que t es racional positivo, t=b/a (b>a, a y b son números naturales).

Hagamos un nuevo rectángulo con anchura $\times$ a, longitud $\times$ a
Es decir, este rectángulo de anchura b, longitud a. (b>a)
Mediante el algoritmo euclidiano,
$a,\; b$
\=> $a,\,\,\, b-(k_1)a=r_1 \,\,\,(r1 < a)$
\=> $a-(k_2)(r_1)=r_2,\,\,\, r_1 \,\,\,(r_2 < r_1)$
\=> $r_2,\,\,\, (r_1)-(k_3)(r_2)=r_3 \,\,\,(r_3 < r_2)$
\=> ...
Así que.., $ r_n=0 $ para algún n.
Esto significa que $(r_{n-1})\times n = r_{n-2}$
Esto significa que $P_m$ es un cuadrado para algún m.

Por lo tanto, t es irracional.

En fin,
Si $P_n$ y $P_{n+2}$ no son similares, $\lim_{n\to\infty} \frac{S_{n+2}}{S_n}$ no existe.

(Creo que esto es correcto, pero ¿cómo lo demuestran?)

Supongamos que $P_n$ son $P_{n+2}$ son similares.
Sin pérdida de generalidad, fijar el $P_n$ en anchura t, longitud 1 de nuevo.(t>1) (relación)
(1) caso
$P_{n+1}$ en anchura (t-1), longitud 1.
$P_{n+2}$ en anchura (t-1), longitud (2-t).
por lo que la relación de similitud $P_n:P_{n+2} = 1:(2-t)$ y $S_n:S_{n+2}$ = $1^{2} : (2-t)^{2}$
Desde $P_n$ son $P_{n+2}$ son similares, 1:t=(2-t):t-1. por lo que t= $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Así que.., $S_n:S_{n+2}$ = $1^{2} : (2-t)^{2}$ = 1 : $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$
Así que.., $lim_{n\to\infty} \frac{S_{n+2}}{S_n}$ = $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

(2) caso
$P_{n+1}$ en anchura (t-1), longitud 1.
$P_{n+2}$ en anchura (t-2), longitud 1.
por lo que la relación de similitud $P_n:P_{n+2}$ = 1:(t-2) y $S_n:S_{n+2}$ = $1^2 : (t-2)^2 $
Desde $P_n$ son $P_{n+2}$ son similares, 1:t=(t-2):1. Así que $t=1+\sqrt{2}$
Así que.., $S_n:S_{n+2}$ = $1^2 : (t-2)^2$ = $1 : (-1+\sqrt{2})^2 = 1:3-2\sqrt{2}$
Así que.., $lim_{n\to\infty} \frac{S_{n+2}}{S_n} = 3-2\sqrt{2}$

Por lo tanto, la respuesta es $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ , $3-2\sqrt{2}$ .

Answer 1

Esto es un comentario, no una respuesta, pero no me cabe lo que quiero decir en un comentario. He intentado comprobar tus cálculos y estoy confundido. En el caso $1,$ que se aplica cuando $1<t<2,$ tienes $P_n$ es $1$ por $t$ y $P{n+2}$ es $t-1$ por $2-t.$ Estas dos cifras son similares, por lo que tenemos $${1\over t}={t-1\over 2-t}\implies t=\sqrt{2}\tag{1a}$$ o $${1\over t}={2-t\over t-1}\implies t={1+\sqrt{5}\over2}\tag{1b}$$

Sólo se encuentra el segundo de ellos. Sin embargo, lo que realmente no entiendo es cómo se calcula la relación de $S_n$ a $S_{n+2}.$ Desde $S_n$ es el área de $P_n,$ tenemos $S_n=t,$ y $S_{n+2}=(t-1)(2-t)$ y así $$ {S_{n+2}\over S_n} = {(t-1)(t-2)\over t}$$

En su cálculo de la proporción, parece estar asumiendo que $P_{n+1}$ y $P_n$ son similares, pero este no es el caso. Para encontrar los límites, sustituye los valores adecuados de $t$ en la última expresión. (Por cierto, en relación con $(1a)$ tenga en cuenta que esta es la proporción para una hoja de papel A4).

Su caso $2$ se aplica cuando $t>2.$ Tenemos que $P_n$ es $t$ por $1$ y $P_{n+2}$ es $t-2$ por $1.$ De nuevo tenemos dos casos, $$ {1\over t}={1\over 2-t}\implies t=1\tag{2a}$$ y $${1\over t}= {2-t\over 1} \implies t=1\tag{2b}$$

Ambos $(2a)$ y $(2b)$ son contradictorios, por lo que el caso $2$ no puede surgir.

Lo más interesante de tu post es la pregunta que planteas: "¿La existencia del límite implica que $P_n$ y $P_{n+2}$ son similares, pues $n$ suficientemente grande?" Al igual que usted, creo que esto es probablemente cierto, pero no he podido demostrarlo.

Creo que la respuesta puede tener que ver con fracciones continuas regulares . Como has señalado, este plegado de papel está relacionado con el algoritmo euclidiano tal y como aparece en el Elementos utilizando la sustracción repetida, en lugar de la división en el algoritmo moderno. El cálculo de fracciones continuas regulares es esencialmente el algoritmo euclidiano moderno, como se explica aquí por ejemplo.

Permítanme mencionar las expansiones de fracción continua de los dos cocientes. En la notación del primer enlace citado, $${1+\sqrt{5}\over 2}=[1;1,1,1,\dots]$$ y $$ \sqrt{2}=[1;2,2,2\dots]$$ Cuando la proporción es ${1+\sqrt5\over2}$ siempre doblamos las dos caras del papel. Primero el de arriba, luego el de la izquierda, después el de arriba, y así sucesivamente. Cuando la proporción es $\sqrt2,$ después del pliegue inicial, siempre doblamos el mismo lado dos veces seguidas. Encaja en la parte superior, luego en la izquierda dos veces, luego en la parte superior dos veces, y así sucesivamente.

Aunque es evidente que las fracciones continuas tienen algo que ver con este problema, no he sido capaz de convertir esa idea en realidad. En particular, ¿cómo entran en juego las áreas de los rectángulos?

He publicado un pregunta de mi parte sobre esto.