Teorema. La categoría de $\mathsf{Cat}$ de los pequeños categorías es completa y cocomplete.
Prueba. Si $\{C_i\}_{i \in I}$ es un pequeño diagrama de categorías, a continuación, definir su límite de $C$$\mathrm{Ob}(C) = \mathrm{lim}_i \mathrm{Ob}(C_i)$$\mathrm{Mor}(C) = \mathrm{lim}_i \mathrm{Mor}(C_i)$, con el evidente origen, el destino y la identidad de los mapas inducida por los de la $C_i$ y el functoriality de $\lim$. Al igual, si $f = (f_i) : (x_i) \to (y_i)$ $g = (g_i) : (y_i) \to (z_i)$ son componibles morfismos, definir $g \circ f = (g_i \circ f_i)$. Es fácil comprobar que $C$ es, de hecho, una categoría, y que la evidente proyecciones de $C \to C_i$ satisfacer el universal propiedad de un límite.
La construcción de la $\mathrm{colim}_i C_i$ es más sutil. Considerar el functor $\mathsf{Cat} \to \mathsf{Set}$, $C \mapsto \lim_i \hom(C_i,C)$. Queremos mostrar que es representable, el uso de Freyd del Criterio de Representatividad (Mac Lane, Categorías para el Trabajo Matemático, Teorema V. 6.3). Ya sabemos que $\mathsf{Cat}$ es completa, y el functor es obviamente continua. Por lo tanto, es suficiente para comprobar que el conjunto de soluciones condición.
Considerar el cardenal $\kappa = \aleph_0 \cdot \sum\limits_{i \in I} \# \mathrm{Mor}(C_i)$.
Deje $S$ el conjunto (!) de todas las categorías, cuyos objetos y morfismos conjuntos son subconjuntos de a $\kappa$. Observar que cada una de las categorías con $\# \mathrm{Mor} \leq \kappa$ es isomorfo a alguna categoría en $S$.
Deje $\{F_i : C_i \to C\}$ ser compatible con la familia de functors. Definir una subcategoría $C' \subseteq C$ como sigue. Los objetos son aquellos de la forma $F_i(x)$ $x$ es un objeto de $C_i$$i \in I$. Una de morfismos en $C'$ es una de morfismos en $C$ que puede ser factorizado como $y_0 \to y_1 \to \dotsc \to y_n$, donde cada una de las $y_j \to y_{j+1}$ se encuentra en la imagen de algunos de los $F_i$. Nos permitir $n=0$, que corresponde a la identidad de morfismos. Claramente, $C'$ es una subcategoría de $C$, y cada una de las $F_i$ factores a través de $C'$. La familia $\{C_i \to C'\}$ es todavía compatible desde $C'$ es una subcategoría de $C$. Ahora básicas cardenal aritmética nos da $\# \mathrm{Mor}(C') \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \kappa^n = \kappa$. Por lo tanto, $C'$ es isomorfo a algún objeto en $S$ y hemos terminado. $ ~~\square$
Observación. La misma prueba puede ser usada para mostrar que $\mathrm{Mod}(T)$ es completa y cocomplete, donde $T$ es una teoría algebraica. Pero no creo que el $\mathsf{Cat}$ es algebraico, porque la composición es definido sólo parcialmente.
Quizás $\mathrm{Mor} : \mathsf{Cat} \to \mathsf{Set}$ es monádico? Un teorema de Linton (ver Coequalizers en categorías de álgebras) dice que $\mathsf{Mod}(T)$ es completa y cocomplete para cada mónada $T$$\mathsf{Set}$.
