¿Qué aprendemos sobre un grupo simple no abeliano a partir de los números "dentro" de su tabla de caracteres?

Question

¿Qué aprendemos sobre un grupo simple no abeliano $G$ de los números "dentro" de su tabla de caracteres?

Está claro que hay mucha información útil en la "cabecera" de la tabla de caracteres, como el orden y el tamaño de las clases de conjugación y los mapas de potencia entre clases de conjugación. Pero ¿qué información adicional podemos extraer sobre $G$ de los números "dentro" de la tabla de caracteres? Si busco la tabla de caracteres de algún grupo simple en el ATLAS, ¿cómo puedo dar sentido a esa matriz de números para aprender algo sobre $G$ ?

Las respuestas habituales que he visto sobre la extracción de información de una tabla de caracteres tienen que ver con la estructura normal de un grupo, pero eso no es útil en el caso de que $G$ es simple no abeliana.

Answer 1

Normalmente, los valores individuales no dicen mucho, pero la tabla en su conjunto permite calcular (mediante álgebra lineal o combinatoria básica) información sobre el grupo que sería mucho más difícil de obtener de otras maneras.

Los valores de los caracteres permiten, por ejemplo, deducir las relaciones entre las representaciones (¿son conjugados de Galois? ¿Cómo se descomponen los productos tensoriales?).

Permiten calcular los coeficientes de multiplicación de clases (con qué frecuencia un producto de elementos de la clase $x$ y la clase $y$ mentir en clase $z$ ), y así ayudar a determinar por qué pares de elementos se puede generar el grupo. [Así es, por ejemplo, como se ha demostrado que muchos de los grupos simples se dan como grupos de Galois sobre los Racionales sin necesidad de escribir nunca los polinomios].

Los caracteres permiten reconstruir los idempotentes centrales $e_i$ (y así descomponer una representación en sus constituyentes irreducibles).

Buscando combinaciones de caracteres que puedan ser caracteres de permutación, es posible obtener (una aproximación de) la estructura de subgrupos de $G$ .