Todo módulo cíclico simple sobre $k[x]$ es de la forma $k[x]/(f)$ con $f$ de primera.

Question

Dejemos que $M$ a (izquierda) $k[x]$ módulo. Suponemos que $M$ cíclico. Demostrar que $M$ es de la forma $k[x]/(f)$ con $f$ de primera.

He intentado lo siguiente: Tenemos que $M=k[x]m$ para algunos $m$ . Ahora bien, si $\varphi:k[x]\longrightarrow M$ (donde $k[x]$ es visto como un $k[x]$ ) es s.t. $\varphi(1)=m$ tenemos que $$\varphi(p(x))=0\iff p(x)m=0$$ y por lo tanto $$M\cong k[x]/\text{Ann}(m).$$ Ahora, ¿por qué $\text{Ann}(m)=(f)$ para $f$ un elemento primo de $M$ . (Por cierto, ¿qué es un elemento primo de un módulo?)

Answer 1

Dejemos que $R=k[x]$ . Se olvidó de mencionar en la pregunta que $M$ es simple, ya que $R$ -módulo (aunque lo has escrito en el título). De lo contrario, esto es incorrecto, ya que $R$ es cíclico pero no de la forma $R/(f)$ con $f$ primo ( $0$ no se considera primo), porque $R/(f)$ tiene torsión como $R$ -en este caso (mientras que $R$ es un programa gratuito $R$ -(por lo que no tiene torsión).

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Tienes razón sobre $M\cong R/\mathrm{Ann}_{R}(m)$ (como $R$ -). Dado que $R=k[x]$ es un PID (porque $k$ es un campo), el ideal $\mathrm{Ann}_{R}(m)$ es $(f)$ para algunos $f \in R$ . Observe que $f$ pertenece al anillo $R$ no al módulo $M$ Por lo tanto, hablar de "elementos primos" (en el anillo) tiene algún significado.

Ahora, $M \cong R/(f)$ no tiene submódulos propios. El $R$ -submódulos de $R/(f)$ son exactamente los $R/(f)$ -submódulos de $R/(f)$ que son los ideales de $R/(f)$ . Un $R$ -da una correspondencia uno a uno entre los submódulos de $M$ y los ideales de $R/(f)$ . Te dejo concluir que $f$ debe ser primo en $R$ (equivalentemente, irreducible, porque $R$ es un UFD).