(Otras respuestas interesantes a una pregunta similar se encuentran en Enseñanza de la topología diferencial y la geometría diferencial Puede que encuentre interesantes otros libros que se recomiendan allí).
Ya que lo mencionas, recomiendo encarecidamente la nueva edición de Tu - _"Una introducción a los colectores" ya que es accesible, pero también muy bien organizado y motivado, y básicamente parte del cálculo multivariable y termina con la cohomología de las variedades (es muy útil, por ejemplo, para obtener los antecedentes necesarios para seguir su otro texto más avanzado y centrado en la topología Bott/Tu - "Formas diferenciales en topología algebraica"_ ). Además, incluye consejos y soluciones a muchos problemas.
Un poco más avanzado y que trata ampliamente de la geometría diferencial de los colectores es el libro de Jeffrey Lee - _"Múltiples y geometría diferencial"_ (no lo confundas con los otros libros de John M. Lee que también están bien pero son demasiados y demasiado largos para cubrir el mismo material para mi gusto). Puedes usarlo como complemento al de Tu o como segunda lectura. Es mucho más completo ya que trata todo el material de Tu's pero incluye mucho más como haces vectoriales y conexiones, geometría de Riemann, etc.
Con el mismo espíritu del libro anterior, pero un poco mejor en mi opinión, e incluso más completo, es el título de Nicolaescu - _" Conferencias sobre la Geometría de los Múltiples "_ . Su tabla de contenidos tiene un alcance asombroso al tratar algunos temas avanzados que la mayoría de los libros introductorios evitan, como la geometría integral clásica, las clases características y los operadores pseudodiferenciales. Se supone que todo se construye a partir de una base de álgebra lineal y cálculo multivariable avanzado. Puede parecer un poco avanzado al principio, pero es el mejor libro para leer con/después del de Tu. Sus ejercicios son bastante resolubles y aprendí mucho con él.
Al final, mi consejo es conseguir el de Tu y si te sientes cómodo después de un tiempo con él y quieres aprender más sobre la geometría de los colectores, consigue el de Nicolaescu (o el de Lee).
Además de esto, te recomiendo encarecidamente que consigas el increíble libro de Gadea/Muñoz - _"Análisis y Álgebra en Múltiples Diferenciables: Un libro de trabajo para estudiantes y profesores"_ . Este título pasa bastante desapercibido fuera de España creo, pero es un tratado muy perspicaz y detallado de problemas resueltos sobre casi todos los temas introductorios de la geometría diferencial de las variedades.
Si buscas una alternativa a Tu's creo que la mejor es John M. Lee - _"Introducción a los Múltiples Suaves"_ Es un libro bien escrito, con un ritmo lento, que cubre todas las construcciones elementales sobre variedades y su índice es muy similar al de Tu. Otra alternativa puede ser Boothby - " Introducción a las Múltiples Diferenciables y a la Geometría Riemanniana "ya que también lo construye todo a partir del análisis multivariable. Si prefieres una transición desde las curvas diferenciales y las superficies centrándose en la geometría riemanniana tienes Kühnel - _"Geometría diferencial: Curvas, Superficies, Múltiples_ ".
Sin embargo, yo diría que una de las mejores introducciones a las variedades es el viejo libro soviético publicado por MIR, Mishchenko/Fomenko - "Un curso de geometría diferencial y topología" . Desarrolla todo desde $\mathbb{R}^n$ En el caso de los grupos de Lie, las curvas y las superficies para llegar a los colectores suaves y un montón de ejemplos (grupos de Lie, clasificación de las superficies, etc.). También está lleno de MUCHAS figuras y dibujos clásicos de cada construcción dando una motivación muy visual y geométrica. Incluso desarrolla la geometría riemanniana, la cohomología de Rham y el cálculo variacional en variedades de forma muy sencilla y sus explicaciones son muy aterrizadas. Si puedes conseguir un ejemplar de este título por un precio barato (el enlace de arriba te envía al marketplace de Amazon y hay ejemplares baratos "como nuevos") creo que merece la pena. Sin embargo, como su tratamiento es un poco anticuado, carece del tipo de formulación algebraica abstracta dura que se usa hoy en día (olvídate de funtores o secuencias exactas, como mencionan Tu o Lee), por eso creo que un tratamiento geométrico a la vieja usanza puede ser muy útil para complementar los títulos modernos para una persona que se adentre en el tema y necesite una buena base geométrica. Al final, no debemos olvidar que los antiguos maestros que fundaron la asignatura eran mucho más visuales e intuitivos que los modernos enfoques abstractos de la geometría, y esa motivación fue la que culminó en el enfoque abstracto unificado de hoy en día.
Como este último libro está agotado y la editorial ya no existe, puede interesarle mucho una copia en línea de "baja calidad" que puede ser descargado aquí (los 3 archivos enlazados en rapidshare) .
