Ceros de la representación decimal de $k!$

Question

Me gustaría una pista para la pregunta:

Para cuántos enteros positivos $k$ hace la representación decimal ordinaria del número entero $k!$ terminar exactamente en $99$ ¿Ceros?

Gracias.

Answer 1

Una pista. Un número termina en $0$ si y sólo si es un múltiplo de $10$ . Un número termina en dos ceros si y sólo si es un múltiplo de $100=2^2\times 5^2$ . Un número termina en tres ceros si y sólo si es un múltiplo de $1000 = 2^3\times 5^3$ . etc. Así, por ejemplo, un número termina exactamente en dos ceros si y sólo si es un múltiplo de $100$ pero no de $1000$ .

Answer 2

Respuesta parcial: para cualquier $k \ge 2$ , $k!$ tendrá una mayor potencia de $2$ que el poder de $5$ en su factorización primaria, por lo que se añadirán nuevos ceros exactamente cuando $k$ es un múltiplo de $5$ . Si hay algún valor de $k!$ con 99 ceros al final de su representación decimal, entonces hay una primera, llámese $k_{99}!$ y $k_{99}$ es un múltiplo de $5$ . $(k_{99}+j)!$ para $j=1,2,3,4$ también debe tener 99 ceros, pero $(k_{99}+5)!$ tendrá más de 99 ceros, porque el $k_{99}+5$ es un múltiplo de $5$ y coincidirá con al menos un factor de 2 existente para crear uno o más ceros nuevos al final de la representación decimal. Así que hay 0 o 5 valores de $k!$ que termina en 99 ceros y sólo queda determinar de qué caso se trata.

Para obtener un crédito extra, vea si hay una manera de encontrar la respuesta que sea más fácil que tratar de calcular el valor de $k_{99}$ .

Answer 3

El número de ceros finales en $k!$ es $\left\lfloor \frac{k}{5}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{5^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{5^3}\right\rfloor + ...$

Esto es aproximadamente $\frac {k}{4}$ así que para 99 ceros $k = 4\times99 = 396$ es un lugar razonable para empezar a buscar.

Answer 4

Para que k! acabe en 99 ceros, debe tener 99 factores de 10 y, por tanto, 99 2 y 99 5. Como va a haber menos 5 que 2, k! debe tener exactamente 99 5. Primero obtenemos eso para k= 99*5= 495 y luego obtenemos 100 5's para k= 100*5= 500. Cualquier número de 495 a 499 tendrá exactamente 99 5 en su factorial. Hay 5 números de este tipo.

En realidad, la respuesta es correcta pero el proceso tiene un pequeño problema. 25=5^2 proporciona el doble de 5. 125=5^3 proporciona el triple de 5. Sin embargo, 100 y 99 menos 3(1+2 extra 5) al mismo tiempo. Por lo tanto, tiene la misma respuesta con la solución anterior.