Me encontré con esta pregunta mientras resolvía algunos problemas basados en el principio de inducción matemática , $P(n) : 1+2+3+....+n < \frac{(n+2)^2}{8}, n\in\mathbb{N}$ es cierto para $(A) \, n\geq1\\ (B) \, n\geq2\\ (C) \text{ all } n\\ (D) \text{ none of these.}$
Al principio mantuve algunos valores aleatorios de $n$ en la desigualdad y comprobó que sólo era cierto para $n=1$ y no por cualquier otro valor natural de $n$ . Entonces traté de demostrar lo mismo o al menos el hecho de que no es cierto para todos los naturales $n$ utilizando el principio de inducción matemática. Para ello, primero demostré que $P(n)$ es cierto para $n=1,$ entonces asumí que $P(n)$ es cierto para cualquier número natural $n=k,$ es decir $P(k) : 1+2+3+\dots+k < \frac{(k+2)^2}{8}$ es una afirmación verdadera, entonces traté de demostrar que $P(k+1)$ es una afirmación verdadera utilizando $P(k)$ es decir $P(k+1) : 1+2+3+...+k+k+1 < \frac{(k+1+2)^2}{8} =\frac{(k+3)^2}{8}$ debe ser cierto . Así que $P(k) : 1+2+3+....+k < \frac{(k+2)^2}{8},$
añadiendo $k+1$ a ambos lados
$\begin{align}&\Rightarrow 1+2+...+k+k+1 < \frac{(k+2)^2}{8} + k+1\\ &\Rightarrow 1+2+...+k+k+1 < \frac{k^2+4+4k+8k+8}{8} = \frac{k^2+12k+12}{8}\end{align}$
Ahora $\frac{k^2+12k+12}{8} = \frac{k^2+6k+9}{8}+ \frac{6k+3}{8}= \frac{(k+3)^2}{8} + \frac{6k+3}{8} \Rightarrow \frac{k^2+12k+12}{8}> \frac{(k+3)^2}{8}.$ Así que finalmente tenemos $1+2+...+k+k+1 < \frac{k^2+12k+12}{8}$ y $\frac{(k+3)^2}{8} < \frac{k^2+12k+12}{8},$ Así que a partir de las dos desigualdades anteriores no podemos demostrar que $P(k+1)$ es verdadera, pero tampoco podemos demostrar que sea falsa, así que ¿qué debemos concluir de esto? También, si de alguna manera probamos que $P(k+1)$ es falso, ¿no es posible que la verdad de $P(k)\Rightarrow$ la verdad de $P(k+2)$ y por tanto por principio de inducción matemática , $P(n)$ es verdadera para los enteros consecutivos alternos a partir de $1$ ? Por favor, ayúdeme.
