Valor esperado de las facturas

Question

Un cofre contiene 5 sobres que contienen un billete cada uno. Un sobre contiene un $\$ 5 $ bill, two envelopes contain a $\$20$ y el proyecto de ley dos restantes contienen un $\$ 100 $ bill. You randomly pick two envelopes from the chest. You then open one of the envelopes in your hand and reveal a $\$20$ factura.

En este punto, tienes la opción de hacer un intercambio. Puede abrir el otro sobre en tu mano y quedarte con el billete dentro, o bien puede escoger uno de los tres sobres restantes del cofre y quedarse con el billete allí. ¿Haces un intercambio?

¿Es correcto mi planteamiento?

Suponga que realiza el canje y calcule el valor esperado del aumento de los beneficios.

Hay una $\frac{1}{10}$ oportunidad de que los dos billetes en tu mano sean ambos $\$ 20 $. By switching, you gain $ \frac{1}{3}(205) - 20 = \frac{145}{3}$ de media.

Hay una $\frac{2}{10}$ oportunidad de que los dos billetes en tu mano sean un $\$ 20 $ and a $\$5$ . Al cambiar, usted gana $\frac{1}{3}(220) - 5 = \frac{205}{3}$ de media.

Del mismo modo, existe un $\frac{4}{10}$ oportunidad de que los dos billetes en tu mano sean un $\$ 20 $ and a $\$100$ . Al cambiar, usted gana $\frac{1}{3}(125) - 100 = \frac{-175}{3}$ de media.

Por lo tanto, al cambiar se gana $\frac{1}{10} \cdot \frac{145}{3} + \frac{2}{10} \cdot \frac{205}{3} + \frac{4}{10} \cdot \frac{-175}{3} < 0$ de media, por lo que no deberías cambiar.

Answer 1

¿Cómo puede importar si se intercambia o no? También podrías haber sacado un sobre, abrirlo y encontrar $\$ 20 dólares, y luego eligió otro. No sabes nada de los otros sobres que tienes ni de los que no tienes.

Answer 2

Su enfoque no es correcto.

Antes de seleccionar dos sobres y abrir uno, había efectivamente un $\frac2{10}$ posibilidad de que al seleccionar dos sobres elija sobres con contenido $\$ 5 $ and $\$20.$ Pero sólo había un $\frac1{10}$ posibilidad de que usted haga eso y luego abra el $\$ Sobre de 20 dólares.

De hecho, inicialmente tiene un $\frac1{10}$ oportunidad de seleccionar sobres con $\$ 5 $ and $\$20$ y luego abrir el que tiene $\$ 20, $ a $ \frac1{10} $ chance to select the two envelopes with $\$20$ y luego abrir uno de ellos, y un $\frac2{10}$ oportunidad de seleccionar sobres con $\$ 100 $ and $\$20$ y luego abrir el que tiene $\$ 20.$ Poniendo esos valores en lugar de los incorrectos en su cálculo del valor esperado, el resultado es cero, no negativo.

Técnicamente, hay un segundo error: debería utilizar probabilidades condicionadas al hecho de que hizo abrir un sobre con $\$ 20, $ not using prior probabilities. After all, your probabilities added to only $ \frac7{10},$ mientras que describen todas las formas posibles de observar un evento que ya conozca había sucedido cuando tomaste la decisión de intercambiar o no.

Las probabilidades condicionales son $\frac14,$ $\frac14,$ y $\frac12,$ es decir, todos los términos de la suma del valor esperado se multiplican por $\frac52.$ El resultado sigue siendo cero.

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Otra forma de ver esto es que seleccionar dos sobres al azar y luego seleccionar uno de ellos al azar para abrirlo equivale a seleccionar un sobre al azar de los cinco originales (y luego abrirlo) y luego seleccionar otro sobre. La apertura del primer sobre ha reducido los resultados posibles a sólo cuatro (dos de valor $\$ 100, $ one $\$20,$ y una $\$ 5$), y todos los sobres restantes (incluido el que se eligió pero no se abrió) tienen la misma probabilidad de ser cualquiera de esos cuatro resultados. Es como jugar a una variante del juego de Monty Hall en la que Monty no sabe dónde está el coche.

Answer 3

Supongamos primero que su otra factura es la $\$ 5 $ bill. There is a $ \frac14$ posibilidad de esto.

Si cambias, tienes garantizado ganar más que si no lo haces.

Supongamos ahora que tiene ambos $\$ 20 $ bills. There is also a $ \frac14$ posibilidad de esto.

Si cambias, vale la pena $\frac23$ del tiempo.

Si tiene un $\$ 100 $ bill, of which there is a $ |frac12 $ chance, switching is not worth it $ |frac23 $ of the time, and makes no difference $ \frac13$ del tiempo.

Multiplicando y sumando las probabilidades, tenemos que el cambio vale la pena $\frac{5}{12}$ del tiempo, no vale la pena $\frac{5}{12}$ del tiempo, y no hay diferencia por cambiar o no $\frac16$ del tiempo. Teniendo en cuenta esta última probabilidad en la que no importa, diría que el cambio merece la pena en general.

Answer 4

Como se ha señalado correctamente en otra respuesta, el intercambio no produce ninguna ganancia o pérdida - siempre y cuando el sobre que hayas abierto haya sido elegido al azar entre los dos que tienes en la mano que no se explicita del todo en la pregunta original. Esto es porque en este caso, usted ha seleccionado efectivamente un sobre al azar, lo ha abierto para revelar un $20$ de dólares, y luego eligió otro sobre al azar - la expectativa de lo que hay en ese segundo sobre, sin abrir, es exactamente la misma que para el resto $3$ .

Sin embargo, suponga que un tercero con conocimientos le dice que abra el que sabe que es el más "rico" de los dos sobres que tiene en la mano. En ese caso, encontrar un $20$ de dólares, debería hacer que cambiaras tu segundo sobre por uno de los restantes $3$ (fácil de ver: en el sobre sin abrir que tiene en la mano, seguro que no tiene más que $20$ dólares, mientras que hay al menos $205$ dólares repartidos entre el resto de $3$ sobres).