La prueba de la integral definida es finita

Question

Se da que, $0 < g(x) < 1$ y \begin{eqnarray} I_1 = \int^{+\infty}_{-\infty} g(x) dx \\ I_2 = \int^{+\infty}_{-\infty} g(x) x^2 dx \\ \end{eqnarray} existen y son finitos. Necesito demostrar que

\begin{equation} I_3 = \int^{+\infty}_{-\infty} g(x) \ln [g(x)] dx \end{equation}

también existe y es finito.

Está claro que, $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$ pero en este caso $\lim_{x \to \infty}\ln[g(x)] = - \infty $ . He intentado generar una desigualdad para $\ln [g(x)]$ y escribir $$g(x) = \frac{1}{(x^2+a^2)^{1+\delta}} \hspace{1cm} for \hspace{.2cm} x>M$$ pero sin poder ir a ninguna parte después de eso.

Answer 1

Dejemos que $$A = \{x: |x|>1, g(x) < e^{-x^2}\}$$ $$B = \{x: g(x) \ge e^{-x^2}\}$$ $$ C = \{x: |x|<1, g(x) < e^{-x^2}\}$$ Claramente $$ \int_B g(x) |\ln(g(x))| \, dx \le \int_B g(x) x^2 \, dx < \infty .$$ En $A$ tenemos $g(x) |\ln(g(x)| \le x^2 e^{-x^2}$ porque $- y \ln y$ es una función decreciente sobre $[0,e^{-1}]$ . Así que $$ \int_A g(x) |\ln(g(x))| \, dx \le \int_A x^2 e^{-x^2} \, dx < \infty .$$ En $C$ tenemos $g(x) |\ln(g(x)| \le e^{-1}$ porque $-y \ln y$ alcanza su máximo en $y = e^{-1}$ . $$ \int_C g(x) |\ln(g(x))| \, dx \le \int_{[-1,1]} e^{-1} \, dx < \infty .$$