¿Cuál es el área de la región sombreada entre el círculo y el triángulo equilátero?

Question

El área del cuadrado es de 16 unidades cuadradas. Un semicírculo se inscribe en un lado del cuadrado y su diámetro es ese lado del cuadrado. Un triángulo equilátero se apoya con su base, en el lado opuesto del cuadrado. Halla el área de intersección del semicírculo y el triángulo equilátero.

Pude encontrar una solución utilizando la geometría de coordenadas. Pero quiero una solución sin usarla. (También con un uso mínimo de la trigonometría si es posible). Por favor, den una respuesta numérica.

Answer 1

En $\triangle ABC$ que se muestra arriba, $AB=4-2\sqrt3$ porque la altura del triángulo es $2\sqrt3$ . La ley de los senos da $$\frac{\sin{150^\circ}}2 =\frac{\sin\angle C}{4-2\sqrt3}$$ $$\sin\angle C=\frac{4-2\sqrt3}4=0.1339$$ $\angle B$ puede evaluarse entonces como $30^\circ-C=22.30^\circ$ .

El área del sector que contiene dos copias de $\triangle ABC$ y el área sombreada es $\pi\cdot2^2\cdot\frac{2\angle B}{360^\circ}=1.556$ . $\triangle ABC$ El área propia es $\frac12(BC)(BA)\sin\angle B=0.2033$ . Si se resta el doble de esto a 1,556, la respuesta final es 1,150 unidades cuadradas.