Son $h$ -de infinitas dimensiones $sl(2,\mathbb C)$ -de dimensión máxima $1$ ?

Question

Dejemos que $(\pi,V)$ sea una representación irreducible del álgebra de Lie $sl(2,\mathbb C)$ en un espacio vectorial complejo posiblemente infinito $V$ . Además, dejemos $h,e^+, e^-$ sea la base estándar habitual donde $h$ es la matriz semisimple $\begin{pmatrix} 1 &0\\0&-1\end{pmatrix}$ . Ahora bien, si $V$ es de dimensión finita, el argumento habitual es el siguiente: el operador $\pi(h)$ tiene al menos un vector propio $v_0$ y a partir de ahí se encuentra $h$ -con valores propios distintos aplicando $\pi(e^+)$ resp. $\pi(e^-)$ varias veces para $v_0$ . (No soy muy preciso aquí) Desde $V$ es de dimensión finita se deduce que (porque $\pi(h)$ sólo puede tener un número finito de valores propios) de esta manera se obtienen un número finito de vectores no nulos que son $h$ -y su extensión es un subespacio invariante de $V$ que es igual a $V$ desde $V$ es irreducible. En particular, se ve que $V$ es $h$ -semisimple y $h$ -sin multiplicidad (en otras palabras: $V$ es la suma directa de los valores no nulos de $h$ -y todo eigespacio no nulo es unidimensional).

Mi pregunta: 1) Ahora estoy interesado en $V$ una representación infinita e irreducible de $sl(2,\mathbb C)$ . ¿Es entonces también cierto que $V$ es $h$ -semisimple y $h$ -sin multiplicidad y ¿hay una forma bastante elemental de argumentar? En realidad supongo que en general un módulo no será $h$ -semisimple (ni siquiera podemos garantizar la existencia de una $h$ -valor propio), así que supongo que debería preguntar si $h$ -semisimplicidad implica que en la descomposición de $V$ en $h$ -cualquier eigespacio es de dimensión $1$ ?

Añadir: 2) Sólo para asegurarme de que mi entendimiento es correcto (probablemente no lo sea), pero ¿es correcto que en general no podemos asumir que el operador $\pi(h)$ es diagonalizable en $V$ ? Así que cada vez que en un texto leo "dejemos $V = ..$ sea la descomposición del eigespacio de $V$ en eigenspaces de $\pi(h)$ El texto probablemente sólo trata el caso de las dimensiones finitas.

3) Suponiendo que hayamos dado una $h$ -vector propio $v_0$ con $h$ -valor propio $\lambda$ y $V$ es de dimensión infinita, podemos deducir de nuevo que el submódulo $V_0$ generado por $v_0$ es $h$ -semisimple y si $V$ es adicionalmente irreducible, entonces por supuesto $V$ mismo es $h$ -Semisimple. He leído que bajo el supuesto adicional de que $v_0$ es también un vector propio del elemento Casimir $C$ , entonces todos los eigenspaces en $V_0$ son unidimensionales, pero no entiendo por qué. Además, ¿cuándo se da el caso de que $C$ actúa como múltiplo escalar de la identidad en $V$ ?

Answer 1

1) Esto forma parte del problema de clasificación del peso $sl_2$ -cuya solución se atribuye a Gabriel y puede encontrarse en la obra de Dixmier Álgebras envolventes (7.8.16). Britten y Lemire clasificaron todos los módulos de peso simples sin multiplicidad [Britten, D.J., Lemire, F.W. A classification of simple Lie modules having a 1-dimensional weight space, Trans.Am.Math.Soc. 299, 1987].

2) Cuando un texto escribe "Que $V=\bigoplus_\lambda V_\lambda$ "sea la descomposición del eigespacio de $V$ ..." entonces el texto asume única y exactamente que $V$ tiene una descomposición eigenspacial. Por cierto, $V$ se llama entonces módulo de peso .

Si $V$ es irreducible, es en particular indecomponible, lo que implica que todo $\lambda$ yacen en una sola $\mathbb{Z}\alpha$ -coste de $\mathfrak{h}^*$ .

3) Sí, dado uno $h$ -vector propio $v_\lambda$ el álgebra envolvente universal $\mathcal{U}(sl_2)$ genera un módulo de peso antes mencionado.

4) Que $\{ e_+, e_-, h'\}$ sea la base dual de $\{e^+, e^-, h\}$ de $sl_2$ con respecto a la forma Cartan-Killing $B(x, y) = \mathrm{trace}(\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y))$ . Entonces

$$C = hh'+ e_-e^- + e_+e^+$$

conmuta con cualquier $g\in sl_2$ y se llama elemento de Casimir. Así, el elemento de Casimir $C$ está en el centro $\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ de $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ y actúa mediante matrices diagonales $\pi(c)$ .

En realidad, para los semisimples $\mathfrak{g}$ el centro $\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ de $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ es isomorfo al anillo de polinomios sobre $\mathbb{C}$ en $\mathrm{rank}\,\mathfrak{g}$ variables [cf. Carter, Lie algebras of finite and affine type, Thm 11.32]. En nuestro caso de $sl_2$ esto es sólo $\mathbb{C}[C]$ .

La condición adicional declarada de $C$ actuando por un escalar, digamos $Cv_0=\xi\cdot v_0$ implica ahora que en el módulo generado $V_0 = \mathcal{U}(sl_2)v_0$ el elemento Casimir $C$ también actuará por escalares: $c(e_\pm v_0)=e_\pm cv_0= \xi\cdot (e_\pm v_0)$ .

A continuación, vamos a equipar el módulo $V_0$ con la acción $hv_0 = \lambda v_0$ para algunos $\lambda\notin\mathbb{Z}$ y $e_-v_n := fv_n = (n+\varepsilon)v_{n+1}$ para $\varepsilon\in (0,1)$ .

Lema. Si $n > 0$ entonces $(i)\; hv_n = (\lambda -2n)v_n\\ (ii)\, ev_n = (\lambda - n + 1)v_{n-1}\\ $

Prueba. (i) Por inducción en $n$ :

$h\left(fv_n\right) = fhv_n + \left[h,f\right]v_n = f(\lambda -2n) v_n - 2fv_n = \left(\lambda -2(n+1)\right)\left(fv_n\right)$

(ii)

$$\left(n+\varepsilon\right)ev_{n+1} = efv_{n} = fev_n+\left[e,f\right]v_{n}\\ =\left(\lambda-n+1\right)fv_{n-1}+hv_{n}\\ =\left(\lambda-n+1\right)\left(n-1+\varepsilon\right)v_{n}+\left(\lambda-2n\right)v_{n}\\ =\left(\lambda-n\right)\left(n+\varepsilon\right)v_{n}$$

para $n\ge 0$ . Ahora divide por $\left(n+\varepsilon\right)$ .

q.e.d.

Ahora, podemos extender la acción de $e=e_+$ para $n \le 0$ . Esto es coherente con la acción de $h$ como lo demuestra

$h(ev_n)=ehv_n + [h,e]v_n = e(\lambda - 2n) v_n + 2ev_n = (\lambda -2(n-1))(ev_n).$

Seguramente, estos módulos son de dimensión infinita para $0 < \varepsilon < 1$ y sus espacios de pesos son unidimensionales.

Desde $V_0$ es generado por el vector $v_0$ con $h$ -acción $\lambda$ el homomorfismo Harish-Chandra $\phi:\mathcal{U}(\mathfrak{g})_0 \to \mathcal{U}(\mathfrak{h})$ permite determinar el personaje central de la acción h en $v_\lambda$ : $\chi_\lambda: \mathcal{Z}(\mathfrak{g}) \to \mathbb{C}$ por $\chi_\lambda(z) = \lambda(\chi(z))$ . Esto se debe al hecho de que $\mathcal{U}(\mathfrak{h})$ es isomorfo a un anillo polinómico, en el $sl_2$ -caso justo $\mathbb C[h]$ donde $\lambda: \mathbb C[h] \to \mathbb C$ es sólo el homomorfismo de evaluación.