El espacio de Cantor y los conjuntos abiertos, pero no cerrados.

Question

Considerar el espacio $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ de todas las secuencias binarias infinitas, llamado espacio de Cantor. Este espacio es metrizable con métrica $$ d(u,v) = 2^{-(r-1)} \qquad \textrm{ where } r = \operatorname{min}\{n : u_n \ne v_n\}. $$ Por lo tanto, tenemos una topología. Sea $X = \{0,1\}$ . Los conjuntos abiertos son conjuntos de la forma $W \cdot X^{\mathbb{N}}$ con $W \subseteq X^{*}$ . Los conjuntos clopen son conjuntos de la forma $W \cdot X^{\mathbb{N}}$ con $W \subset X^{*}$ y $W$ finito. Ahora conjeturo:

Si $E = W\cdot X^{\mathbb{N}}$ con $W$ infinito, entonces existe un $w$ tal que $w \in \overline{W}$ (es decir, existe una secuencia $w_i$ con $w_i \to w$ ) y $w \notin E$ (porque entonces $w$ está abierto pero no cerrado). Para algunos ejemplos he podido construir una secuencia de este tipo, pero no soy capaz de encontrar una secuencia de este tipo para un conjunto arbitrario de esta forma. ¿Es posible construir una secuencia de este tipo?

Answer 1

Volví a tu pregunta y parece que esta vez lo conseguí (si no, todavía puedo intentar echarle un vistazo cerca del 2021. :-)).

Asumiré que $X^*$ es un conjunto de palabras finitas sobre $X$ y para cada palabra $w\in X^*$ el conjunto $w\cdot X^{\Bbb N}$ consiste en todos los elementos de $X^{\Bbb N}$ que comienza a partir de $w$ .

Dejemos que $E = W\cdot X^{\mathbb{N}}$ con $W$ infinito. Consideremos un conjunto reducido $$W^r=\{w\in W: w\mbox{ has no proper prefix in }W\}.$$ Entonces $W\cdot X^{\mathbb{N}}=W^r\cdot X^{\mathbb{N}},$ y queremos excluir un caso en el que el conjunto $W^r$ es finito.

Por inducción podemos definir una secuencia $\{v_n:n\ge 0\}$ de palabras sobre $X$ tal que $v_0=\varnothing$ y para cada $n\ge 1$

(i) Una palabra $v_n$ tiene una longitud $n$ ,

(ii) una palabra $v_{n-1}$ es un prefijo de $v_n$ ,

(iii) un conjunto $W_n=\{w\in W_r: v_n\mbox{ is a prefix of }w \}$ es infinito.

Las condiciones i y ii implican que existe una palabra infinita $w=\lim _{n\to\infty} v_n\in X^{\Bbb N}$ . Las condiciones i y iii implican que $w\in\overline{W^r\cdot X^{\Bbb N}}$ . Supongamos que $w\in W^r\cdot X^{\Bbb N}$ . Entonces $w$ tiene un prefijo $w_n\in W^r$ de longitud $n$ para algunos $n$ . Entonces $w_n=v_n$ y es un prefijo para cada palabra del conjunto $W_{n+1}\subset W^r$ lo que contradice la irreductibilidad del conjunto $W^r$ .