Considere la ecuación del calor en $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d$
\begin{align*} \partial_t u -\Delta_x u &= f, \\ u(0,x)&=u_0(x). \end{align*}
En el caso de que $u_0\in L^2(\mathbb{R}^d)$$f\in\mathscr{C}^0(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))\cap L^\infty(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))$, no existe un único $u\in\mathscr{C}^0(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))$ como $\tilde{u}$ es la solución de problema de Cauchy en el templado sentido de que es
\begin{align*} \partial_t \tilde{u} -\Delta_x \tilde{u} = \tilde{f} +\delta_{t=0}\otimes u_0, \end{align*}
donde $\tilde{h}$ denota la extensión por $0$$\mathbb{R}$. Esta solución está dada por la Duhamel fórmula de la transformada de Fourier : para todos los $t>0$, \begin{align*} \widehat{u(t)}(\xi) = \widehat{u_0}(\xi) e^{-|\xi|^2t} + \int_0^t \widehat{f(s)}(\xi)e^{-(t-s)|\xi|^2} ds. \end{align*}
Sé que, en el caso de $f=0$, la ecuación del calor tiene una instantánea de regularizar a efecto en el sentido de que la solución anterior $u$ pertenece a $\mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}^d)$, independientemente de la regularidad de $u_0$. ¿Qué regularidad se obtiene en el caso general, $f\in\mathscr{C}^0(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))\cap L^\infty(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))$ descrito antes ? El punto es que me gustaría seguir trabajando en este bonito marco de Fourier y obtener la regularidad de $u$ por medio de la descomposición de $\widehat{u(t)}(\xi)$.
Dos comentarios
En el mencionado caso de $f\in\mathscr{C}^0(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))\cap L^\infty(\mathbb{R}_+;L^2(\mathbb{R}^d))$ me parece que instantáneamente suavidad se pierde. Por ejemplo, la pertenencia a $u(t)\in H^2(\mathbb{R}^d)$ conduce a estudiar la integrabilidad (en el tiempo) de $ \| |\xi|^2 e^{-\tau|\xi|^2}\|_\infty$ cerca de $0$ que al parecer es falso (se comporta como $1/\tau$). Pero tal vez me he perdido algo.
Si se supone que el $f\in L^\infty(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d))$, $(s,\xi)\mapsto \widehat{f(s)}(\xi)$ está delimitada en $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^d$ y, por tanto, para cualquier $t>0$ y cualquier multi-índice de $\alpha\in\mathbb{N}^d$ $|\xi| \geq 1$ (pequeño $\xi$ son handable)
\begin{align*} |\xi^\alpha \widehat{u(t)}(\xi)| &\leq |\xi^\alpha \widehat{u_0}(\xi)| e^{-|\xi|^2t} + \|f\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d))} \int_0^t |\xi|^{|\alpha|}e^{-(t-s)|\xi|^2} ds \\ &= |\xi^\alpha \widehat{u_0}(\xi)| e^{-|\xi|^2t} + \|f\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d))} \int_0^t |\xi|^{|\alpha|}e^{-(t-s)|\xi|^2} ds\\ &= |\xi^\alpha \widehat{u_0}(\xi)| e^{-|\xi|^2t} + \|f\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d))} \frac{1}{|\xi|^{2-\alpha}}(e^{-t|\xi|^2}-1), \end{align*}
que de nuevo no es cuadrado integrable en $\xi$.
A mí me parece que sin ninguna regularidad supuestos en los $x$ variable $f$, uno sólo puede esperar que los $L^2_t(H^s_x)$ regularidad para $u$, pero no estoy seguro de que no me había perdido de algo antes.
Yo estaría encantado de tener cualquier comentario o consejo. También si uno tiene una buena referencia en el análisis de Fourier de las no homogéneas ecuación del calor y la regularidad de las propiedades de sus soluciones en el caso anterior, sería muy amable de compartirlo !
