Probar \displaystyle \int_{0}^{\pi/2 $} \ln \left(x^{2} + (\ln\cos x) ^ 2 \right) \, dx = \pi\ln\ln2$

Question

Cómo probar $$\int_{0}^{\pi/2}\ln\left(\,x^{2} + \ln^{2}\left(\,\cos\left(\,x\,\right)\,\right) \,\right)\,{\rm d}x\ =\ \pi\ln\left(\,\ln\left(\, 2\,\right)\,\right)$$

No sé qué contestarle.

Cuando le hice esta parte integrante de mi hermano, después de menos de la mitad de horas dijo que tiene una bonita forma cerrada que involucra $\pi$ y $\ln\left(2\right)$ pero, como siempre, a mí no me dijo de forma cerrada y cómo obtenerla ( yo no creo en él y creo que él trató de meterse conmigo ).

También he buscado en la cuestión similar aquí, pero parece que nada es similar o relacionada.

Podría alguien, por favor me ayudan a obtener la forma cerrada de la integral de preferencia con formas elementales ( escuela secundaria de métodos )?. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

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Editar:

Él es de ser un poco amable conmigo hoy, dijo que la forma cerrada es de $\pi\ln\ln2$ y es numéricamente correcta.

Esto no es un duplicado de un problema, estoy en busca de una prueba sin necesidad de utilizar el análisis complejo.

Answer 1

Aquí está una real de los métodos analíticos.

Tenemos

$$\int_{0}^{\!\Gran \frac{\pi}{2}} \ln \left(x^{2} + \ln^2\cos x\right) \, {\rm d}x=\pi\ln(\ln2) \tag1$$

Prueba. Deje de $s$ ser un número real tal que $-1<s<1$. Uno puede utilizar el siguiente teorema (demostrado aquí) $$\int_{0}^{\!\Gran \frac{\pi}{2}} \frac{\cos \left(\! s \arctan \left(\frac{x}{-\ln \cos x}\right)\right)}{(x^2+\ln^2\! \cos x)^{s/2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}\frac{1}{\ln^{s}\!2}. \tag2$$

Entonces se nos permite diferenciar ambos lados de $(2)$ $$\begin{align} \partial_s \a la izquierda. \left( \frac{\cos \left(\! s \arctan \left(\frac{x}{-\ln \cos x}\right)\right)}{(x^2+\ln^2\! \cos x)^{s/2}}\right) \right|_{s=0} &=-\frac 12 \ln \left(x^{2} + \ln^2\cos x\right) \\\\ \partial_s \a la izquierda. \left( \frac{\pi}{2}\frac{1}{\ln^{s}\!2}\right) \right|_{s=0} &=-\frac{\pi}{2}\ln(\ln2) \end{align}$$ lo que da el resultado de $(1)$.

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, la integral es: $$2\Re\int_0^{\pi/2} \ln\ln\left(\frac{1+e^{2ix}}{2}\right)\,dx=2\Re\int_0^{\pi/2} \ln\left(\ln\left(1+e^{2ix}\right)-\ln 2\right)\,dx$$ Considere la posibilidad de $$f(x)=\ln(\ln(1+x)-\ln2)$$ Alrededor de $x=0$, la expansión de taylor puede ser escrita como: $$f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)\frac{x^2}{2!}+f"'(0)\frac{x^3}{3!}+....$$ Reemplazar $x$ $e^{2ix}$. Observe que la integración de los poderes de $e^{2ix}$ resultado sería cero o puramente imaginario número y debido a que los derivados de $f(x)$ en $0$ son reales, tenemos que considerar sólo el término constante i.e $f(0)$. Dado que $f(0)=\ln(-\ln 2)=\ln\ln 2+i\pi$, por lo tanto, $$2\Re\int_0^{\pi/2} \ln\left(\ln\left(1+e^{2ix}\right)-\ln 2\right)\,dx=2\int_0^{\pi/2} \ln\ln 2\,dx=\boxed{\pi\ln\ln 2}$$

$\blacksquare$

Answer 3

Una solución mediante el análisis complejo se da aquí por sos440.