Un obispo en una cuadrícula

Question

Supongamos que tenemos un $n\times m$ tablero de ajedrez y alfil en la casilla $(1,1)$ . Comienza a moverse en diagonal con las siguientes reglas:

1. Si el alfil está en cualquier casilla de la esquina excepto $(1,1)$ deja de moverse.

2. Si el alfil se encuentra con una casilla límite que no es una esquina, cambia la dirección del movimiento continuando en la única dirección que no es la opuesta al camino que acaba de recorrer (es decir, viajará por las posiciones $(3,1) \to (2,2) \to (1,3) \to (2,4) \to \cdots $ )

¿Es posible determinar dónde se detendrá el alfil y su trayectoria? He encontrado el caso $\min\{n,m\}\not\mid\max \{n,m\}$ duro.

Answer 1

Una pista: Como es habitual en este tipo de problemas, piensa que el alfil se mueve por la línea $y=x$ , sólo que tenemos muchos tableros de ajedrez (posiblemente reflejados en el límite).

Answer 2

Una pista:

Denotemos los centros de los cuadrados por $(i,j)$ con $i$ , $j$ enteros $\geq0$ . El tamaño del tablero es entonces $n'\times m'$ con $n'=n-1$ , $\>m'=m-1$ y el punto de partida es $(0,0)$ .

Vuelva a colocar la placa con su cubierta universal es decir, la red de números enteros ${\mathbb Z}^2$ y marque todos los puntos $(k n', l m')$ , $\ k,l\in{\mathbb Z}$ con al menos uno de $k$ , $l$ impar, con una estrella negra.

El complicado viaje del bishp puede ahora "levantarse" para ${\mathbb Z}^2$ y aparece como una línea recta. De este modo, resulta más fácil analizar en qué circunstancias este trayecto llegará a una "esquina prohibida" o se convertirá en periódico.