Quizá sepa que la convergencia de productos es no definido sólo en términos de "existe el límite de los productos parciales", por ejemplo $\prod \frac 1n$ es por definición no convergente, aunque los productos parciales converjan a $0$ . En cambio, la definición es tal que puede haber un número finito de factores $=0$ y para el resto de factores la suma de los logaritmos es convergente. Si nos deshacemos del logaritmo, esto nos da la definición directa:
$\prod x_n$ se dice que es convergente si existe $N$ tal que la secuencia de productos parciales $\prod_{n=N}^Mx_n$ converge a un límite no nulo (!) como $M\to\infty$ .
Por eso también la convergencia absoluta de $\prod (1+a_n)$ productos infinitos se define como la convergencia absoluta de $\sum\ln(a+a_n)$ (ignorando los posibles factores finitos $=0$ aquí). (Después de todo, el signos de los factores por sí mismos no puede desempeñar un papel: deben converger a $+1$ por lo que sólo puede haber un número finito de factores negativos). En consecuencia, tenemos las mismas propiedades que con las sumas, es decir, la convergencia absoluta implica que el orden de los factores no importa.
Supongamos ahora que $\sum \ln(1+a_n)$ es convergente. Entonces, específicamente $a_n\to 0$ . Como $\ln(1+x)=x+O(x^2)$ vemos que el comportamiento de $\sum \ln(1+a_n)$ es esencialmente la misma que la de $\sum a_n$ . Por lo tanto, la convergencia/convergencia absoluta de $\prod(1+a_n)$ puede relacionarse con la convergencia/convergencia absoluta de $\sum a_n$ .
