Pregunta sobre un sistema con todas las órbitas acotadas cerradas y máximamente integrables

Question

Dado Sistema hamiltoniano con $2n$ -espacio de fase dim, si existe $k\ge n$ integrales independientes de movimientos entonces lo llamamos sistema hamiltoniano integrable . El mayor número de integrales de movimientos independientes debe ser $2n-1$ . Como sabemos, si un sistema hamiltoniano es integrable, podemos tener variables de ángulo de acción con $m=2n-k$ frecuencias independientes $\omega_i$ con $i=1,\cdots, m$ .

Así que vemos si para $\forall \ i,j$ , $\omega_i/ \omega_j \in \mathbb{Q}$ entonces la órbita acotada es cerrada. Y ciertamente, si sólo hay una frecuencia independiente, es decir, la máxima integrable $k=2n-1$ , entonces todas las órbitas acotadas son cerradas.

Mi pregunta:

1. A primera vista, parece que "un sistema con todas las órbitas acotadas cerradas" implica que "un sistema es maximamente integrable( $k=2n-1$ )". Pero no es cierto, puedo poner un ejemplo $$H=\frac{p_x^2}{2} +\frac{p_y^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_1^2 x^2 + \frac{1}{2}\omega_2^2 y^2 \tag{1}$$ con $\omega_1/ \omega_2 \in \mathbb{Q}$ . Creo que este ejemplo no es maximamente integrable si $\omega_1 \neq \omega_2$ ya que tiene dos frecuencias independientes. (¿Es correcto este argumento?)

Pero este ejemplo es un poco trivial, ¿existe un ejemplo
$$H= \frac{\mathbf{p}^2}{2}+V(\mathbf{r}) \tag{2}$$ con $V(\mathbf{r})$ potencial central no necesario, tal que tiene dos frecuencias independientes $\omega_{1,2}(I_1,I_2,\cdots)$ que no son constantes pero el radio es siempre un número racional.

Con la variable de ángulo de acción, puedo llegar a un ejemplo $H=\frac{1}{2} I_1^2+ 2 I_1 I_2+ 2 I_2^2$ con $\omega_2 = 2 \omega_1 = 4 I_2 + 2 I_1$ no es una constante. Pero cómo transformar canónicamente a la forma de $(2)$ ? O cualquier Hamitoniano de forma $(2)$ con el requisito anterior debe ser un oscilador armónico de anisotropía?

PD: No tiene ninguna relación con el teorema de Bertrand que requiere la fuerza central.

2. Otro sistema que también tiene todas las órbitas acotadas cerradas es una partícula cargada en $2$ -dim plano con campo magnético constante perpendicular al plano. Todas las órbitas son circulares, por lo que se puede imaginar que este sistema debe ser máximamente integrable. Tengo curiosidad por saber cuáles son las tres integrales independientes de los movimientos.

Answer 1

Comentarios al puesto (v3):

1. Cualquier hamiltoniano cuadrático que pueda ser separado en modos normales: $$H~=~ \sum_{k=1}^n H_k, \qquad H_k~:=~~\frac{p_k^2}{2m_k}+\frac{1}{2} m_k\omega_k^2q_k^2~=~ \omega_k h_k,$$ $$h_k~:=~\frac{1}{2}(P_k^2+Q_k^2)~=~ \frac{1}{2} Z_k Z^{\ast}_k,$$ $$ Q_k~:=~m_k\omega_k q_k, \qquad P_k~:=~\frac{p_k}{m_k\omega_k}, $$ $$ Z_k ~:=~ P_k+iQ_k, \qquad \{Z_k,Z^{\ast}_{\ell}\}~=~2i\delta_{k\ell}, \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots,n\},\tag{1a} $$ es máximamente superintegrable $^1$ es decir, tiene $2n-1$ integrales de movimiento. Para ver esto considere el $n$ complejo constantes de movimiento $$C_k ~:=~{\rm Ln}(Z_k)-i\omega_kt, \qquad k~\in~\{1,\ldots,n\},\tag{1b}$$ que dependen explícitamente de $t$ . Al eliminar el $t$ -es posible construir $2n-1$ integrales reales de movimiento.

2. El 2D Hamiltoniano de Landau $$ H~=~\frac{p_x^2}{2m}+ \frac{1}{2m}\left( p_y - qBx \right)^2 \tag{2a}$$ es máximamente superintegrable, es decir, tiene 3 integrales de movimiento: $$ H, \qquad p_y , \qquad p_x - qBy. \tag{2b}$$

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$^1$ Para la terminología, véase también este Puesto de Phys.SE.