Libro de análisis matemático con un resultado específico de continuidad.

Question

Dejemos que $I^{n}\overset{_\mathrm{def}}{=}\left\{x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}|\;\;a_i\leq x_{i} \leq b_{i}\,;\; i=1, \ldots, n\right\}$ ser un $n$ -intervalo cerrado de una dimensión y $I$ un intervalo cerrado $[a, b] \subset \mathbb{R}$ .

Propuesta. Dejemos que $f \in C^0(I^n\times I,\mathbb{R})$ . Si para todos $(x_1,\ldots,x_n)\in I^n$ hay un $t^\ast\in [a,b]$ tal que $f(x_1,\ldots,x_n,t^\ast)=0$ entonces la función $$ m(x_1,\ldots,x_{n-1},x_{n})=\inf\{t\in [a,b] : f(x_1,\ldots,x_{n-1},x_{n},t)=0\} $$ también es continua en el $I^n$ .

¿Puede alguien sugerir un libro de texto de análisis matemático que contenga pruebas de esto Propuesta ?

Ya he buscado pruebas de este resultado en libros de texto clásicos de análisis matemático como

• Análisis matemático real de Charles Chapman Pugh.
• Principios del análisis matemático de Walter Rudin
• Análisis matemático I de V. A. Zorich

pero sin éxito.

Answer 1

Un ejemplo: Sea $g(t)=1$ para $t\leq 1$ y $g(t)=2-t$ para $t>1$ . Sea $[a, b]=[-3, 3]$ . Sea $$ f(x_1, ...,x_n, t)=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+t^2)g(t), $$ Por lo tanto, si $(x_1, ...,x_n)\neq 0$ tenemos $m(x_1, ...,x_n)=2$ , mientras que $m(0, ... ,0)=0$ .

En general, sólo se puede mostrar $m$ es semicontinuo inferior.

Si se asume $t^*$ es única, se puede demostrar la conclusión, pero entonces la $\inf$ en la definición de $m$ parece divertido.