Diferencia entre acercarse y ser exactamente un número

Question

Cuando tomamos un límite, decimos que el valor nunca es igual a ese número, pero acerca, como % $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.$nunca alcanza $0$, pero se convierte más y más a $0$.

En este caso, no es malo a decir cosas como:

¿ $$2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8} + \frac{1}{16}+\cdots $ $ O que un derivado de $\sin(x)$ $\cos(x)$ desde el límite de % $$$ \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$$\Delta x$que se acerca$0$nunca es igual a $\cos(x)$ pero infinitamente más cercano?

¿Hay un buen artículo sobre esto que puedo leer y entenderlo mejor?

Answer 1

Echemos un vistazo a tu frase

Nunca llegue a $0$, pero se vuelve más y más a $0$.

Este es imprecisa, y esto es en el centro de su confusión. ¿Qué es "esto"? Existe una importante distinción:

• La secuencia de $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$ nunca llegue a $0$, pero se vuelve más y más a $0$.

• Deje $L$ ser el límite de la secuencia de $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$. A continuación, $L$ es exactamente igual a $0$.

Answer 2

El punto es que el límite es exactamente la operación que toma una secuencia $x_n$acercamiento a $x$ y te da $x$. Es decir, cuando decimos $$\lim_{n \to \infty} x_n = x,$$ we mean that $x_n$ converges to $x$ as $n\to \infty$; this does not claim that $x_n = x$ for any $n$. In your sum, the ellipsis $\cdots$ implica un proceso limitante: esta ecuación podría ser escrita más formalmente

$$1 = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac 1 {2^n}.$$

Tenga en cuenta que ninguna de estas sumas finitas es igual a $1$, pero se acercan a $1$, así que decir que su límite es 1.

Answer 3

Imaginen que decir $\forall \epsilon>0 :|x-y|<\epsilon$. Quiero reclamar que si esto es cierto para cualquier positivos arbitrarios $\epsilon$ luego de que las fuerzas de $|x-y|$ a cero.

Supongamos que $|x-y|$ no es cero, pero es muy muy pequeño, por lo que, existe un número natural $n$ tal que

$$\exists n\in\mathbb{N}:\displaystyle \frac{1}{10^{-(n+1)}} <|x-y|< \frac{1}{10^{-n}}$$

Ahora podemos establecer $\displaystyle \epsilon<\frac{1}{10^{-(n+1)}}$ y que contradice $|x-y|<\epsilon$. Así, debido a que $|x-y|<\epsilon$ es cierto para cualquier $\epsilon>0$, no importa cuán pequeño $\epsilon$ es la conocemos $|x-y|=0 \implies x-y=0 \implies x=y$. Esto es debido a que no existe el menor número real positivo. Y debido a que $|x-y|$ es no negativo, entonces si no es cero, tendremos una contradicción, por lo que debe ser cero.

Esto es cierto para los límites también. Cuando usted dice $\displaystyle 2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$ esta es una igualdad. Pero si consideramos sólo un número finito de términos de esta serie, a continuación, que es sólo una aproximación de $2$.

Answer 4

No, el límite de $de$$\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$ $\Delta x$ % que se acerca $0$es igual a $\cos(x)$. Pero nunca es igual a $\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$ $\cos(x)$. y también tenga en cuenta que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8} + \frac{1}{16}+\cdots$, pero nunca es igual a $s_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}$ $2$.

Answer 5

En algún momento temprano, nos enteramos acerca de binario sumas: cosas como 3+7.

Poco después, nos enteramos ternario de sumas: cosas como 7+13+8. ¿Qué podría significar? Así, podríamos decir que significa en primer lugar, calcular 7+13 para obtener 20, 20+8 para obtener 28. O tal vez vamos a decir que deberíamos añadir 13+8 para obtener 21, 7+21 al conseguir 28. Por supuesto, aprendemos rápidamente que obtenemos la misma respuesta, de cualquier manera, no importa de qué son los números.

Pero un día, nos enfrentamos a un cuaternario suma: algo así como 1+2+3+4. ¿Podría esto significar? Así, podemos dar la misma solución: seguimos aplicando binario sumas a los pares de números hasta llegar de uno a la izquierda.

Este método seguirá trabajando con 5-ary sumas, 6-ary sumas de dinero, o incluso $n$-ary sumas de dinero para cualquier número natural $n \geq 1$. (y es fecunda para definir un 0-ary suma demasiado, pero eso es otro tema)

Entonces, un día aciago, vemos una suma igual $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$$ ¿Podría esto significar? Podríamos tratar de adoptar la conocida convención a la que añadimos los números en pares hasta que tengamos una izquierda, pero que no funciona aquí. Mientras que la mayoría de los enfoques para el problema podría decir que esta suma tiene el mismo valor que $$\frac{3}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$$ todavía tenemos un número infinito de términos: no hemos conseguido más para obtener un solo número.

Así que tenemos que entender de una infinita suma de alguna otra forma. Incluso podríamos estar interesados en la existencia de múltiples formas diferentes de entender que, dependiendo sólo de lo que estamos tratando de hacer con ellos.

Introductorios de cálculo da la primera definición rigurosa de la mayoría de la gente encuentra. Definimos una secuencia de parciales de sumas:

• 1
• $1 + \frac{1}{2}$
• $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
• $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
• $\vdots$

y entonces nosotros "el valor de un cálculo de estilo infinito suma" significa lo mismo que "el límite de esta secuencia".

Otros sumatorias métodos son posibles. Incluso los diferentes enfoques para el cálculo de estilo suma son posibles.

Por ejemplo, si tenemos algún multi-conjunto de números positivos $X$, que puede ser que desee para definir su suma. Porque deseamos que si $S \subset X$, se debe insistir en que la suma de $S$ ser menor que la suma de $X$, podríamos hacer la siguiente definición:

• $\sum X$ se define para ser el más pequeño número real con la propiedad de que $\sum S \leq \sum X$ para cada subconjunto finito $S \subseteq X$.

donde $\sum S$ para un conjunto finito $S$ se define de la manera habitual (repetidamente agregar números pares hasta que lo tienes a la izquierda).

Resulta que $\sum X$ es el mismo valor que el cálculo de estilo infinito suma he descrito anteriormente.

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Otro enfoque es algo más algebraicas en la naturaleza. No nos importa lo que una suma infinita es, siempre que se cumplan algunas 'obvio' propiedades: por ejemplo,

$A$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \right) 2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \right) = \left(2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} + \cdots \right) $$

Para el infinito geométrico de la suma, entonces podemos resolver estas ecuaciones para obtener

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2$$

sin ninguna noción de los límites de incluso estar involucrado!