En algún momento temprano, nos enteramos acerca de binario sumas: cosas como 3+7.
Poco después, nos enteramos ternario de sumas: cosas como 7+13+8. ¿Qué podría significar? Así, podríamos decir que significa en primer lugar, calcular 7+13 para obtener 20, 20+8 para obtener 28. O tal vez vamos a decir que deberíamos añadir 13+8 para obtener 21, 7+21 al conseguir 28. Por supuesto, aprendemos rápidamente que obtenemos la misma respuesta, de cualquier manera, no importa de qué son los números.
Pero un día, nos enfrentamos a un cuaternario suma: algo así como 1+2+3+4. ¿Podría esto significar? Así, podemos dar la misma solución: seguimos aplicando binario sumas a los pares de números hasta llegar de uno a la izquierda.
Este método seguirá trabajando con 5-ary sumas, 6-ary sumas de dinero, o incluso $n$-ary sumas de dinero para cualquier número natural $n \geq 1$. (y es fecunda para definir un 0-ary suma demasiado, pero eso es otro tema)
Entonces, un día aciago, vemos una suma igual
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots $$
¿Podría esto significar? Podríamos tratar de adoptar la conocida convención a la que añadimos los números en pares hasta que tengamos una izquierda, pero que no funciona aquí. Mientras que la mayoría de los enfoques para el problema podría decir que esta suma tiene el mismo valor que
$$ \frac{3}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots $$
todavía tenemos un número infinito de términos: no hemos conseguido más para obtener un solo número.
Así que tenemos que entender de una infinita suma de alguna otra forma. Incluso podríamos estar interesados en la existencia de múltiples formas diferentes de entender que, dependiendo sólo de lo que estamos tratando de hacer con ellos.
Introductorios de cálculo da la primera definición rigurosa de la mayoría de la gente encuentra. Definimos una secuencia de parciales de sumas:
- 1
- $1 + \frac{1}{2}$
- $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
- $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
- $\vdots$
y entonces nosotros "el valor de un cálculo de estilo infinito suma" significa lo mismo que "el límite de esta secuencia".
Otros sumatorias métodos son posibles. Incluso los diferentes enfoques para el cálculo de estilo suma son posibles.
Por ejemplo, si tenemos algún multi-conjunto de números positivos $X$, que puede ser que desee para definir su suma. Porque deseamos que si $S \subset X$, se debe insistir en que la suma de $S$ ser menor que la suma de $X$, podríamos hacer la siguiente definición:
- $\sum X$ se define para ser el más pequeño número real con la propiedad de que $\sum S \leq \sum X$ para cada subconjunto finito $S \subseteq X$.
donde $\sum S$ para un conjunto finito $S$ se define de la manera habitual (repetidamente agregar números pares hasta que lo tienes a la izquierda).
Resulta que $\sum X$ es el mismo valor que el cálculo de estilo infinito suma he descrito anteriormente.
Otro enfoque es algo más algebraicas en la naturaleza. No nos importa lo que una suma infinita es, siempre que se cumplan algunas 'obvio' propiedades: por ejemplo,
$ A$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots =
1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \right) $$
$$ 2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \right)
= \left(2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} + \cdots \right) $$
Para el infinito geométrico de la suma, entonces podemos resolver estas ecuaciones para obtener
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2$$
sin ninguna noción de los límites de incluso estar involucrado!