Función integrable de Lebesgue que desaparece en el infinito

Question

He visto en muchos sitios que si una función integrable de Lebesgue sobre $\mathbb R^+$ decir, y si $f$ tiene un límite finito en el infinito, ¡entonces este límite debe ser cero! No he podido encontrar ninguna prueba y espero que esto no sea demasiado obvio.

Gracias.

Matemáticas

Answer 1

Piensa en el área bajo la curva. Si la función se acerca a un límite finito y positivo, ¿puede haber un área finita bajo la curva?

Más formalmente: si $f(x)\to L$ como $x\to\infty$ , entonces para un tamaño suficientemente grande $x$ (digamos, $x>M$ ), debemos tener que $\lvert f(x)-L\rvert<\frac{L}{2}$ . En otras palabras, sabemos que $$ \frac{L}{2}\leq f(x)\leq \frac{3L}{2}\text{ for all }x>M. $$ Ahora, si $f$ es integrable en Lebesgue, se puede escribir $$ \int\limits_{\mathbb{R}^+}f\,dm=\int\limits_{[0,M]}f\,dm+\int\limits_{(M,\infty)}f\,dm $$ y ambas integrales deben ser finitas. Pero vemos que $$ \int\limits_{(M,\infty)}f\,dm\geq\int\limits_{(M,\infty)}\frac{L}{2}\,dm, $$ que es claramente infinito (como $\frac{L}{2}>0$ ).