Considere el siguiente sistema:
$$Y'(x) = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} Y(x); \ \ Y(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
Donde $Y$ denota el vector columna de componentes $y_1, y_2, y_3$ y $Y'$ denota el vector de columnas formado por $y_1', y_2', y_3'$ .
Dejemos que $A$ denotan que $3 \times 3$ matriz. La solución general del sistema es $Y(x) = e^{Ax}C$ , donde $C$ es un vector columna de constantes.
Calculamos los valores propios de $A$ y descubren que son $1$ con multiplicidad $1$ y $-2$ con multiplicidad $2$ .
La matriz de Jordan de $A$ es:
$$J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$$
En los casos que he encontrado hasta ahora, el Jordan de la matriz resulta ser diagonal, o encuentro que $J$ puede escribirse como $J = \alpha I_n + M$ para alguna matriz nilpotente $M$ y $\alpha \in \mathbb R$ y en ambos casos el cálculo de $e^{Jx}$ es fácil. Pero en este caso, soy incapaz de encontrar $e^{Jx}$ .
Intento:
Traté de descomponer $J$ en la forma $\alpha I_3 + M$ a saber: $J = -2 I_3 + M$ , donde:
$$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
Me di cuenta de eso:
$$M^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \ \forall \ n \ge 2$$
Pero no pude ponerlo en práctica.
¿Podría alguien ayudarme?
Gracias.
