Demuestre que si $a$ y $b$ son enteros positivos entonces hay divisores $c$ de $a$ y $d$ de $b$ con $(c, d) = 1$ y $cd = [a, b]$

Question

Demuestre que si $a$ y $b$ son enteros positivos entonces hay divisores $c$ de $a$ y $d$ de $b$ con $(c, d) = 1$ y $cd = [a, b]$

Desde $a$ y $b$ son positivos, seguramente ambos tendrán una factorización de potencia prima.

Así que inicialmente pensé que tendría que mostrar $c$ es producto de primos donde la potencia $e$ de $p$ sería el máximo para esa prima $p$ entre $a$ y $b$ pero eso no parece correcto.

¿Alguien tiene una solución mejor para este problema?

Answer 1

Dejemos que $a,b\in\mathbb N$ tal que $a\neq b$ . Considere $p,q\in\mathbb N$ tal que $a=(a,b)p$ y $b=(a,b)q$ . Entonces $(p,q)=1$ y $(p,(a,b))=1$ . Por lo tanto, $(p,q(a,b))=1$ Si definimos $c=p$ y $d=q(a,b)$ tenemos lo que queríamos.

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CORRECCIÓN: Dejemos que $a,b\in\mathbb N$ tal que $a\neq b$ . Considere $p,q\in\mathbb N$ tal que $a=(a,b)p$ y $b=(a,b)q$ . Entonces $(p,q)=1$ y $[a,b]=(a,b)pq$ . Ahora queremos factorizar $(a,b)$ de manera adecuada, digamos $(a,b)=xy$ con el fin de obtener $c=xp$ y $d=yq$ coprime.

Dejemos que $s\in\mathbb{N}$ tal que $(a,b)=(p,(a,b))\cdot(q,(a,b))\cdot s$ . Observe que $(p,q)=1$ implica que $(p,(a,b))$ y $(q,(a,b))$ son coprimos. Obsérvese también que $s$ es coprima de p y q.

Ahora considere $c=p\cdot (p,(a,b))\cdot s$ y $d=q\cdot (q,(a,b))$ . Tenemos que $cd=[a,b]$ , $c|a$ y $d|b$ . Lo que queda por demostrar es que $c$ y $d$ son coprimos.

Desde $p$ y $q$ son coprimos y $(q,(a,b))$ divide $q$ concluimos que $p$ es primordial para $(q,(a,b))$ y luego es primordial para $d$ también.

Ahora bien, como $(p,(a,b))$ divide $p$ y $(p,d)=1$ entonces $(p,(a,b))$ es primordial para $d$ .

Del mismo modo, ya que $s$ y $q$ son coprimos, $s$ y $(q,(a,b))$ son coprimos. Así, $s$ es primordial para $d$ .

Por lo tanto, $c=p\cdot (p,(a,b))\cdot s$ es primordial para $d$ .