Integrabilidad de $\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^a}$ en $E=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z>1, \ z^2(x^2+y^2)<1 \}$

Question

Dejemos que $E=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z>1, \ z^2(x^2+y^2)<1 \}$ y $$f_{a}(x)=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^a}$$

Necesito encontrar todos los $a\in \mathbb{R}$ tal que $f_a\in L^1(E).$

Ya conozco una solución a este problema, y quiero entender por qué la mía es errónea.

Mi intento

1) [Comprobación de la mensurabilidad]

En primer lugar $E$ está abierto en $\mathbb{R}^3$ siendo una unión por encima de todo $z>1$ de discos abiertos de radio $\frac{1}{z}$ : $E=\bigcup_{z>1} E_z=\bigcup_{z>1}\{(x,y): x^2+y^2<\frac{1}{z^2}\}.$ A continuación, ya que $z>1,$ $f_a$ parece continua en cada punto de $E,$ por lo tanto, es medible.

2) [Positividad]

La función $f_a$ es estrictamente positivo para cada $a\in \mathbb{R},$ por lo que para comprobar la integrabilidad podemos reducirnos a calcular $$\int_E f_a \ d(x,y,z)$$ y por positividad de la función podemos aplicar el teorema de Tonelli, reescribiendo la integral como

$$\int_1^{+\infty}\int_{x^2+y^2<\frac{1}{z^2}} f_a \ \ d(x,y) \ d(z)$$

3)[Coordenadas polares]

Ahora calculamos la integral interna utilizando coordenadas polares para obtener

$$\int_{x^2+y^2<\frac{1}{z^2}} f_a \ \ d(x,y)= \int_0^{2\pi} \int_0^{1/z} \frac{r}{(r^2+z^2)^a} \ dr d\theta= 2\pi \int_0^{1/z} \frac{r}{(r^2+z^2)^a} \ dr =...$$

variable cambiante $r\mapsto \ t= \phi(r)=r^2+z^2 $

$$...=\pi \int_{z^2}^{1/z^2+z^2} \frac{1}{t^a} \ dt= F(z,a) $$

4) [Cómputo por casos]

4.i)

Para $a=1,$ tenemos $F(1,z)= \log(1/z+z^2)-\log(z^2)$ y $$\int_1^{+\infty}\log(1/z^2+z^2)-\log(z^2) \ dz= \int_1^{+\infty} \log(z^2(1/z^4+1))-\log(z^2) \ dz= \int_1^{+\infty}\log(1+1/z^4) \ dz < +\infty$$ y así $f_{a=1}\in L^1(E).$

4.ii)

Ahora dejamos que $a \neq 0,$ y tenemos

$$\int_{z^2}^{1/z^2+z^2}t^{-a} \ dt=\frac{(1/z^2+z^2)^{1-a}}{1-a}-\frac{(z^2)^{1-a}}{1-a}$$ y tenemos que evaluar $$\int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2+z^2)^{1-a}}{1-a}-\frac{(z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz $$ Pero

$$\int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2+z^2)^{1-a}}{1-a}-\frac{(z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz \geq \int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2)^{1-a}}{1-a}+ \frac{(z^2)^{1-a}}{1-a} -\frac{(z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz= \int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz > +\infty$$

para $0<2-2a\leq 1 \iff 0<1-a \leq \frac{1}{2} \iff a \geq \frac{1}{2}$ para que $f_a \notin L^1(E)$ para $a \geq \frac{1}{2};$

por otro lado, tenemos

$$\int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2+z^2)^{1-a}}{1-a}-\frac{(z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz \leq \int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2+z^2)^{1-a}}{1-a} \ dz$$

y como en un ngbh de $+\infty$ $$1/z^2+z^2 \sim z^2 $$ este último es finito si y sólo si $$\int_1^{+\infty}\frac{(1/z^2)^{1-a}}{1-a}<+\infty$$

si y sólo si

$$2-2a >1 \iff a<\frac{1}{2}$$

¿Puede alguien corregir y decirme si hay algún error?

La otra solución que tengo, usando coordenadas esféricas, tiene $f_a $ integrable $\iff$ $a=3/2$ o $a>-\frac{1}{2}, $ mientras que mi solución da $f_a$ integrable si $a=1$ o $a<\frac{1}{2}$ . Quiero entender qué ha fallado en mi solución.

Answer 1

Estimación de $\int_{z^2}^{z^2+z^{-2}} \frac{dt}{t^a}$ correctamente es como se obtendría el rango correcto para la convergencia. Para $a\ge 0$ el integrando es decreciente, por lo que podemos estimar $$ \int_{z^2}^{z^2+z^{-2}} \frac{dt}{t^a} \le \frac1{(z^{2})^a}(z^2 + z^{-2} - z^2) = \frac1{z^{2a+2}}\in L^1_{\text{loc}}(1,\infty),$$ y ésta es integrable en el infinito si $2a+ 2>1$ , lo que da $a>-1/2$ Así que $a\ge 0$ . (Obsérvese que esta estimación funciona mejor que tratar de utilizar ese $z^2+z^{-2}\sim z^2$ como una caja negra).

Para $a<0$ el integrando es creciente, en su lugar vamos $$\int_{z^2}^{z^2+z^{-2}} \frac{dt}{t^a} \le \frac1{z^2+z^{-2}}(z^2 + z^{-2} - z^2) = \frac1{1+z^{2\alpha + 2}}$$ y se aplica el mismo análisis, dando los casos restantes $-1/2 < a < 0$ .

En cuanto a la parte de la divergencia, no creo que sea cierto que $$ (a+b)^s \ge a^s + b^s$$ donde usaste esto para $s\in[0,1/2]$ . En realidad, en este régimen, se puede utilizar la concavidad de $x\mapsto x^s$ a Deducir que la desigualdad opuesta se mantiene. Además, la integral 3D original es integrable en el conjunto mayor $\{z>1\}\supset E$ cuando $2a>3$ , así que eso ya es una señal de que no puedes demostrar que diverge para el rango que afirmaste.

Para una prueba correcta, en realidad la prueba anterior da también límites inferiores, utilizando el otro límite de integración. Así que $\int_{z^2}^{z^2+z^{-2}} \frac{dt}{t^a} \sim \frac1{z^{2a+2}}$ en el infinito, y esta diverge si $a\le 1/2$ .