Secuencia espectral de Hodge a de Rham para pilas

Question

Para un trabajo que estoy haciendo, necesito una versión de la secuencia espectral de Hodge a de Rham para pilas. No soy en absoluto un experto en pilas, así que disculpadme si cometo pequeños errores técnicos al exponerlo.

Sólo tengo que ocuparme de las pilas de cocientes. Dejemos que $X$ sea una variedad cuasiproyectiva suave sobre $\mathbb{C}$ y que $G$ sea un grupo finito que actúa sobre $X$ . Estoy tratando de entender la cohomología de la pila cotizada $X/G$ . Gavillas en $X/G$ debería ser lo mismo que $G$ -de la sheave equivariante en $X$ y la cohomología de gavillas deben ser los funtores derivados de la $G$ -equivariante global de secciones. Lo que creo que debería ser cierto es que debería haber una secuencia espectral de Hodge a de Rham que converja a $H^{\ast}(X/G;\mathbb{C})$ con

$$E_1^{pq} = H^p(X/G;\Omega^q).$$

Aquí $\Omega^q$ es la gavilla de $G$ -equivariante holomorfa $q$ -forma en $X$ .

Esto debería poder demostrarse siguiendo la prueba habitual de la secuencia espectral de Hodge a de Rham: primero se demuestra que la gavilla constante $\mathbb{C}$ en $X/G$ es cuasi-isomorfo al complejo de Rham $\Omega^{\ast}$ y el otro mira la secuencia espectral de hipercohomología. El único punto en el que veo algún problema es la demostración de la exactitud del complejo de Rham, que requeriría una versión equivariante del lema de Poincare. Sin embargo, esto debería poder derivarse del lema habitual de Poincare por medio del promedio.

Pregunta : ¿Estoy en lo cierto de que esta secuencia espectral existe, y si es así alguien puede darme una referencia de la misma?

Puedo encontrar muchos artículos que investigan situaciones en las que degenera una versión de la secuencia espectral de Hodge a de Rham para pilas, pero todos ellos trabajan con mucha más generalidad que yo y me resulta difícil verificar que la secuencia espectral de la que se ocupan es la misma que yo (intenté) exponer más arriba. No necesito que la secuencia espectral degenere, aunque es de suponer que lo haga en la situación en la que estoy trabajando.

Answer 1

Respuesta corta: sí.

Según recuerdo, Teleman construye una secuencia espectral de este tipo para pilas bastante generales. Puedes consultar su artículo La conjetura de cuantificación revisada Anales 2000. Pero esto puede entrar en la categoría de "más generalidad de la necesaria".

El caso que quieres probablemente se puede hacer a mano. La cuestión es que si $G$ es un grupo finito que actúa sobre una variedad compleja cuasi proyectiva $X$ entonces la variedad cociente $X/G$ existe (ver el comentario de Sarah más abajo para una explicación). Esto no es lo mismo que la pila de cocientes $[X/G]$ para una acción no libre, pero hay relación. La cohomología de $[X/G]$ con coeficientes en una gavilla $\mathcal{F}$ sería la cohomología equivariante $H^*_G(X,\mathcal{F})$ . Esto puede tomarse como el functor derivado de $G$ -invariantes compuestas con secciones globales como has dicho. Esto produce una secuencia espectral $$H^a(G, H^b(X,\mathcal{F}))\Rightarrow H^{a+b}([X/G],\mathcal{F}) $$ Desde $G$ es finito, esto colapsará a un isomorfismo cuando $\mathcal{F}$ es una gavilla de $\mathbb{C}$ -por el teorema de Maschke. Esta observación se aplica a $\mathcal{F}=\mathbb{C}$ o $\Omega_X^q$ . En este caso, podemos identificar además $$H^i(X,\Omega_X^q)^G= H^i(X/G,\tilde\Omega_{X/G}^q)$$ donde la gavilla de la derecha está definida en Steenbrink, Estructura mixta de Hodge en la cohomología de fuga . El resultado es que también puedes trabajar en $X/G$ donde los detalles sobre cómo construir Hodge a de Rham se pueden encontrar en el artículo de Steenbrink.

Explicación añadida de segundo isomorfismo. Por definición $\tilde \Omega^q(U) = \Omega^q(\pi^{-1}U)^G$ , donde $\pi:X\to X/G$ es la proyección. Esto implica que, tenemos un isomorfismo de los complejos de Cech $$C(\{U_i\}, \tilde \Omega^q)=C(\{\pi^{-1}U_i\}, \Omega)^G$$ y, por tanto, en la cohomología (hay que utilizar la exactitud de $(-)^G$ aquí también).