ayuda para mostrar la integridad

Question

Dejemos que $\left\{H_n\right\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de espacios de Hilbert y sea $H=\left\{\left\{x_n\right\}:x_n\in H_n, \sum ||x_n||^2<\infty \right\}$ . Defina el producto interior como $(\left\{x_n\right\}, \left\{y_n\right\})=\sum (x_n,y_n)$ Entonces $H$ es completa con respecto a la norma inducida $\left\|x_n \right\|=(\left\{x_n\right\}, \left\{x_n\right\})^\frac{1}{2}$ .

Quiero considerar una secuencia de Cauchy $\left\{ \left\{x_{i,m} \right\}_{i=1}^\infty \right\}_{m=1}^\infty$ y utilizar el hecho de que $\sum ||x_n||^2<\infty$ pero aquí es donde me encuentro con un problema:

$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty ( \left\{x_i \right\}_m , \left\{x_i \right\}_m)= \sum_{m=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty (x_{i,m}, x_{i,m})$ .

La suma anterior puede no ser necesariamente finita, ¿verdad? Quiero demostrar que es finita para que de esta manera sepa que $\left\{ \left\{x_i \right\}_m \right\}_{m=1}^\infty$ tiene un límite. ¿Qué estoy haciendo mal? Gracias por su ayuda.

Answer 1

La prueba de la integridad de $H$ es muy similar a la prueba de integridad de $\ell^2(\mathbb{N})$ .

1. Los componentes en $H_n$ de la secuencia de Cauchy en $H$ son secuencias de Cauchy, y por la completitud de $H_n$ el límite "puntual" $\xi = \{\xi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ existe.
2. El límite puntual $\xi$ pertenece a $H$ y
3. la secuencia converge a $\xi$ en la topología de la norma en $H$ .

Para evitar confusiones de anotación, escribo $x^{(m)}$ para el $m$ -término de la secuencia en $H$ et $x_n^{(m)}$ para su componente en $H_n$ .

Desde $\lVert x_n^{(m)} - x_n^{(k)}\rVert_{H_n} \leqslant \lVert x^{(m)} - x^{(k)}\rVert_H$ para todos $n$ vemos que para una secuencia de Cauchy $(x^{(m)})_{m\in\mathbb{N}}$ en $H$ las secuencias $(x_n^{(m)})_{m\in\mathbb{N}}$ de los componentes son todas las secuencias de Cauchy en los respectivos $H_n$ . Por supuesto, $H_n$ es completa, por lo que $\xi_n = \lim\limits_{m\to\infty} x_n^{(m)}$ existe para todos los $n$ .

A continuación vemos que $\xi = \{\xi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ está en $H$ : Las secuencias de Cauchy están acotadas, por lo que existe una $C < +\infty$ con $\lVert x^{(m)}\rVert \leqslant C$ para todos $m$ . Así, para todos los $N \in \mathbb{N}$ tenemos

$$\sum_{n=0}^N \lVert x_n^{(m)}\rVert_{H_n}^2 \leqslant C^2\tag{1}$$

para todos $m \in\mathbb{N}$ . Desde $x_n^{(m)} \xrightarrow{m\to\infty} \xi_n$ implica $\lVert x_n^{(m)}\rVert_{H_n} \to \lVert \xi_n\rVert_{H_n}$ se deduce que

$$\sum_{n=0}^N \lVert\xi_n\rVert_{H_n}^2 \leqslant C^2\tag{2}$$

tomando el límite de los sumandos finitos en $(1)$ . Desde $N$ era arbitraria, se deduce que

$$\sum_{n=0}^\infty \lVert \xi_n\rVert_{H_n}^2 = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \lVert\xi_n\rVert_{H_n}^2 \leqslant C^2,\tag{3}$$

y por lo tanto $\xi \in H$ .

Por último, vemos que $x^{(m)} \to \xi$ en $H$ : Dejemos que $\varepsilon > 0$ se le dará. Dado que $(x^{(m)})$ es una secuencia de Cauchy, existe una $M \in \mathbb{N}$ tal que

$$\lVert x^{(m)} - x^{(k)}\rVert \leqslant \varepsilon$$

para todos $k,m \geqslant M$ . Para un $m \geqslant M$ y todos $N\in \mathbb{N}$ entonces tenemos

$$\sum_{n=0}^N \lVert x_n^{(m)} - \xi_n\rVert_{H_n}^2 = \lim_{k\to\infty} \underbrace{\sum_{n=0}^N \lVert x_n^{(m)} - x_n^{(k)}\rVert_{H_n}^2}_{\leqslant \lVert x^{(m)} - x^{(k)}\rVert^2} \leqslant \varepsilon^2,\tag{4}$$

y tomando el límite para $N\to\infty$ en $(4)$ rinde

$$\lVert x^{(m)} - \xi\rVert \leqslant \varepsilon$$

para todos $m \geqslant M$ , estableciendo

$$\xi = \lim_{m\to\infty} x^{(m)}$$

en $H$ y, por tanto, la integridad de $H$ .

Answer 2

Creo que quieres usar el siguiente teorema:

Un espacio lineal normado $X$ es completa si y sólo si toda serie absolutamente sumable es sumable. (Página 124 proposición 5 del capítulo 6 en Real analysis by Royden, "Third Edition")

Debido a que usted consideró primero la serie absolutamente sumable.

Set $$H=:\oplus_{n=1}^\infty H_n=:\{\{h_n\}_n: \forall n\in\mathbb{N},\quad h_n\in H_n,\quad \|\{h_n\}_n\|_H=:\sum_{n=1}^\infty\|h_n\|_n^2<\infty \}$$ donde $\|.\|_n$ es la norma relacionada con el $H_n$ y supongamos que $\{\{h_{n,m}\}_n\}_m$ es una serie absolutamente sumable de elementos de $H$ lo que significa $\sum_{m=1}^\infty \|\{h_{n,m}\}_n\|_H<\infty$ . Así que tenemos \begin{align} \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty(h_{n,m},h_{n,m})=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \big((h_{n,m},h_{n,m})^\frac{1}{2}\big)^2=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \|h_{n,m}\|_n^2=\sum_{m=1}^\infty \|\{h_{n,m}\}_n\|_H<\infty. \end{align} Ahora sólo tienes que demostrar $\|\sum_{m=1}^\infty\{h_{m,n}\}_n\|_H<\infty$ o de forma equivalente $$\|\sum_{m=1}^\infty\{h_{m,n}\}_n\|_H=\|\{\sum_{m=1}^\infty h_{n,m}\}_n\|_H=\sum_{n=1}^\infty\|\sum_{m=1}^\infty h_{n,m}\|_n^2=\sum_{n=1}^\infty(\sum_{m=1}^\infty h_{n,m},\sum_{m=1}^\infty h_{n,m})<\infty$$ que mostrará $\{\{h_{n,m}\}_n\}_m$ es una serie sumable.(Obsérvese que para todo $n\in\mathbb{N},\quad \sum_{m=1}^\infty h_{m,n}\in H_n$ )

Demuestra la plenitud y ese es el fin.

Answer 3

Aquí la prueba debe ser similar a como se muestra $\mathbb{R}$ está completo. Tu prueba se ha atascado porque no has utilizado la condición $$ |x|^{2}=\sum^{\infty}_{i=1}\langle x_{i},x_{i}\rangle<\infty $$