conjuntos con la misma imagen bajo el mapa continuo

Question

Supongamos que tengo una función continua $f : X \rightarrow Y$ de espacios topológicos $X $ y $Y$ . Si tengo dos juegos $U$ y $V$ en $X$ de manera que la imagen bajo $f$ de ambos conjuntos es el mismo $f(U) = f(V) $ y $U$ está abierto- podría $V$ ¿tiene que estar abierto?

Answer 1

No.

Considere $X=Y=\mathbb{R}$ bajo la topología habitual y $f(x)=x^2$ . Entonces, si $U=(-1,1)$ y $V=[0,1)$ , $f(U)=f(V)=[0,1)$ pero $U$ está abierto y $V$ no lo es.

Para la pregunta del comentario, siempre podemos hacer que la imagen se abra simplemente restringiendo el dominio $X$ a $(-1,1)$ y $Y$ a $f(X)=[0,1)$ con la topología del subespacio.

Answer 2

Considere esto para una función constante $f$ . (Si quieres $f(U)$ que se abra también, entonces deja que el espacio $Y$ consisten en un solo elemento).

Answer 3

No. Deja que $X = \mathbb R^2$ y $Y = \mathbb R$ tomada como la $y$ -eje, por qué no. Sea $U$ sea el cuadrado unitario abierto con ángulos en $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),$ y que $f(x,y)=y.$ Así que el cuadrado sólo mapea el cuadrado de lado al segmento vertical. Pero, si dejamos que $V$ sea ese mismo segmento vertical, $f(V) = V.$ Pero $V$ no está abierto como subconjunto de $X = \mathbb R^2$

NOTA QUE $f(U) = V$ ESTÁ ABIERTO COMO SUBCONJUNTO DE $Y = \mathbb R.$

Bueno, por qué no. Creo que el comentario de @AndreNicolas aludía a este ejemplo: Que $X=U$ sea el disco unitario abierto estándar en el plano, y sea $Y = V = \{(0,0)\}$ sea un único punto. Por último, dejemos que $f:X \rightarrow Y,$ es decir, todos los puntos del disco están asignados al origen. Así que $f(U) = f(V) = V$ de nuevo. Pero $V,$ mientras que un subconjunto abierto de $Y,$ es un subconjunto cerrado de $X,$ además $V$ no es un subconjunto abierto de $X.$ A veces hay estos conjuntos llamados clopen, para que lo sepas. Había una parte sobre París y Francia, esto es más o menos.

Answer 4

De hecho, es posible que $f$ continua y $f(V)=f(U) \implies U,V$ están abiertos sólo si $f(V)=f(U)$ están abiertas en $Y$ . Puedes intentar probarlo. Si necesitas más pistas, puedes comentarlo.