¿por qué podemos utilizar el análisis dimensional para descubrir fórmulas?

Question

Si quiero descubrir la duración del tiempo ( $t$ ) de un objeto que cae desde una altura ( $h$ ) al suelo en un campo gravitatorio ( $g$ ), puedo adivinar que $t$ es proporcional a $h, g$ y la masa ( $m$ ). Luego, con algunos $K$ como adimensional, tenemos:

$ t\space = k \space m^\alpha h^\beta g^\gamma$

entonces utilizamos el análisis dimensional para descubrir que $\alpha=0, \beta=1/2,\gamma=-1/2$

entonces

$t=K\sqrt{\frac hg}$

ok.... pero ¿por qué podemos usar esto en primer lugar? Sé que existe un principio de homogeneidad de dimensiones, pero ¿cuál es el fundamento de este principio?

Answer 1

La idea básica se remonta a Stoney. Citando a Barrow y Tipler en "El principio antrópico cosmológico":

En 1874, el físico irlandés G. Johnstone Stoney discutió por primera vez la posibilidad de que existan sistemas particulares de unidades elegidas por la propia Naturaleza, lo que podríamos denominar "Unidades Naturales".

Básicamente, Stoney razonó que, dado un conjunto de constantes, habría algunas escalas naturales (o valores típicos) para los fenómenos descritos utilizando estas constantes. Esta es la premisa básica y se ha demostrado que se mantiene casi universalmente.

Si tienes un objeto que cae bajo la gravedad con una aceleración constante $g$ a distancia $h$ se inyecta inmediatamente la física en el problema eligiendo unidades y, por tanto, valores numéricos para $g$ y $h$ . Usted elegiría $g=9.8m/s^2$ y $h=1$ m porque en la Tierra las cosas suelen caer a varios metros y durante algunos segundos. Como resultado, el tiempo "natural" que se puede construir para esto es $\sqrt{h/g}=\sqrt{1/9.8}\approx 0.3$ diciéndole que las caídas de más de un metro de altura serán del orden de segundos. El valor exacto no es primordial; lo que importa es que esta escala no es de minutos ni de milisegundos.

Tenga en cuenta que es imposible encontrar una fórmula "exacta" utilizando este método porque no es posible evaluar los factores de proporcionalidad adimensionales, pero permite hacerse una idea de los órdenes de magnitud implicados, ya que la experiencia ha demostrado que estos factores adimensionales suelen ser de tamaño $1$ es decir, ni pequeño ni grande.

Del mismo modo, si se pregunta cuáles son las energías atómicas típicas, se podría construir una escala de energía utilizando $m$ (masa del electrón), $e$ (carga del electrón), $\epsilon_0$ de la ley de Coulomb, y $\hbar$ para dar cuenta de la cuantificación de la situación. Entonces se obtendría $$ E= \frac{me^4}{\hbar^2 \epsilon_0}\approx 13.6eV. \tag{1} $$ lo cual es justo. Tenga en cuenta que, si decide utilizar $h$ en lugar de $\hbar$ (ambos tienen las mismas unidades y sólo difieren en un factor de $2\pi$ ), estarías equivocado por un factor de $6$ pero todavía en el rango de los eV. No son MeVs, no $10^{-3}$ eV, pero casi. Se puede jugar y usar el más común $4\pi\epsilon_0$ en lugar de sólo $\epsilon_0$ para obtener una respuesta numéricamente diferente, pero todavía en el mismo rango de eV.

Esto demuestra que no se pueden obtener "nuevas fórmulas" a partir del análisis dimensional, ya que se puede salir fácilmente por algunos factores adimensionales; en cambio, se puede descubrir que la cuadruplicación $h$ duplicará el tiempo, o que el tiempo que tarda en caer en la Luna está relacionado con el de la Tierra por $t_{Moon}= t_{Earth}\sqrt{g_{Earth}/g_{Moon}}$ es decir, los objetos tardan más en caer sobre la Luna. Se pueden calcular las energías típicas de los átomos muónicos sustituyendo $m$ por $m_\mu$ en (1) ya que el resto de la física no ha cambiado.

Así, no estás "descubriendo" nuevas fórmulas, sino relacionando cantidades conocidas para obtener valores típicos de las cantidades de tu sistema.