Dado:
$$A = \begin{pmatrix} 3 &-4 &1 &0 \\ 4& 3 &0 &1 \\ 0 &0 &3 &-4 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$
Has encontrado correctamente los valores propios:
$$ \lambda_1 = 3+4i, \lambda_2 = 3-4i$$
Cada valor propio tiene una multiplicidad algebraica de dos.
Para $\lambda_1 = 3 + 4i$, la forma escalonada reducida por filas (FERF) de $[A-\lambda_1 I]v_1 = 0$, es:
$$\begin{pmatrix} 1 &-i & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v_1 = 0$$
Para este valor propio, has encontrado correctamente uno de los vectores propios correspondientes:
$$v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}$$
Sin embargo, solo tenemos un vector propio (la multiplicidad geométrica es uno) y necesitamos encontrar un segundo vector propio generalizado. Un enfoque es usar $[A - \lambda_1 I]v_2 = v_1$, lo que resulta en la matriz aumentada:
$$ \left[\begin{array}{rrrr|r} 4i &-4 &1 &0 & i \\ 4& 4i &0 &1 &1 \\ 0 &0 & 4i &-4 &0\\ 0 & 0 & 4 & 4i&0 \end{array}\right] $$
La FERF de esta matriz es:
$$ \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 &-i & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 &1 &0 &i \\ 0 &0 & 0 &1 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0&0 \end{array}\right] $$
De esta FERF tenemos:
$$d = 1, c = i, a = i b$$
Elige $b = 0 \implies a = 0$, obteniendo un segundo vector propio generalizado:
$$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ i \\ 1 \end{pmatrix}$$
Vale la pena señalar que los valores propios vienen en pares conjugados complejos y lo mismo sucede con los vectores propios. En otras palabras, puedes simplemente escribir los otros dos vectores propios para $\lambda_2$ a partir del trabajo anterior tomando el conjugado complejo de cada vector propio.
