Ecuación funcional (no. de soluciones): $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + 2f(y)$

Question

Encontrar todos los funciones $f\colon\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ tal que $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + 2f(y)$, todos racionales $x,y$.

Answer 1

$f(0)=0$ Eligiendo $x=y=0$. También por la elección de $x=y$ podemos ver $f(2x)=4f(x)$. Además de elegir a $x=0$ y el uso de $f(0)=0$, entonces usted tiene $f(y)=f(-y)$.

Ahora por la fuerte inducción se puede probar que $f(nx)=n^2f(x)$.

A continuación, elija $x$ $\frac{x}{n}$ en la anterior ecuación, entonces se obtiene: $$f(x)={n^2}f(\frac{x}{n})\rightarrow\frac{1}{n^2}f(x)=f(\frac{x}{n})$$ Y, finalmente, tenemos: $$f(\frac{mx}{n})=\frac{1}{n^2}f(mx)=\frac{m^2}{n^2}f(x).$$ Supongamos ahora que $f(1)=a$ algunos $a\in\mathbb{R}$, luego de llegar $$f(x)=ax^2$$ para todos racional $x=\frac{m}{n}$.

Answer 2

Esa ecuación, que es a menudo llamado Appolonius de la fórmula o el paralelogramo de la ley, es una caracterización homogénea cuadráticas formas en un espacio vectorial (sin soluciones de $v+v=0$).

En geometría, con $f(\mathbb{x})=|\mathbb{x}|^2$ el cuadrado de Pitágoras distancia, la fórmula es la relación demostrado por Appolonius entre las diagonales y los lados de un paralelogramo. En un espacio vectorial, para cualquier punto del producto [bilineal simétrica forma] $B$, los asociados de "el cuadrado de la distancia" de la función [la restricción a una forma cuadrática] $f(x)=B(x,x)$ satisface la ecuación, debido a

$B(x+y,x+y)=B(x,x) + B(y,y) + 2B(x,y)$.

Por el contrario, cualquier solución de la ecuación viene a partir de esta construcción, y $2B(x,y) = f(x+y) - f(x) - f(y)$ . Publicado el problema es el caso de 1-dimensional espacio vectorial sobre el campo de los números racionales.

Answer 3

Alternativomente, uno podría, al conseguir que $f(2x)=4f(x)$, mantener diferenciando ambos lados con respecto a los $x$;

$\quad 2f'(2x)=4f'(x), \\\quad 4f''(2x)=4f''(x), \\\quad 8f'''(2x)=4f'''(x),\\ \qquad \qquad \vdots \\ 2^nf^{(n)}(2x)=4f^{(n)}(x), \\ \qquad \qquad \vdots \\$

Luego del ajuste del $x=0$, que tenemos;

$\quad 2f'(0)=4f'(0), \\\quad 4f''(0)=4f''(0), \\\quad 8f'''(0)=4f'''(0),\\ \qquad \qquad \vdots \\ 2^nf^{(n)}(0)=4f^{(n)}(0),\qquad(1) \\ \qquad \qquad \vdots$

De esta forma, se puede ver que $f''(0)$ puede tener un valor arbitrario; con todos los otros derivados que es cero.

Usando expansión de Maclaurin para $f(x)$, obtenemos la misma respuesta como la anterior;

$f(x)=ax^2\qquad$ (para algunos racional $a$)