Dejemos que $a(n)$ sea una función estrictamente creciente de $n$ .
Prueba de que todo límite convergente
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{a(n)} f(k,n)$$
es esencialmente una suma de Riemann.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para dar una respuesta completa es necesario aclarar qué se entiende por "esencialmente" una suma de Riemann y, muy probablemente, reducir la clase de funciones consideradas. Sin hacer ese intento, creo que el examen de algunos casos podría arrojar algo de luz sobre si esta pregunta puede responderse de la forma más general.
Especulo que te refieres a que el cálculo del límite puede reducirse a la evaluación de una integral de Riemann definida, ya sea (1) directamente como límite de una suma de Riemann o (2) en un proceso de limitación más general en el que un paso implica el límite de una suma de Riemann.
Como ejemplo de la categoría (1), consideremos $a(n) = n$ y $f(k,n) = k/(n^2 + k^2)$ donde tenemos una verdadera suma de Riemann,
$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{\log 2}{2} $$
Con una ligera modificación, donde $a(n) = n$ y $f(k,n) = k/(n^2 + k),$ tenemos un ejemplo de la categoría (2),
$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + k/n^2} $$
En este caso, ya no tenemos una suma de Riemann. Se puede demostrar que el límite es $1/2\,$ por diversos medios. Sin embargo, podemos reintroducir las sumas de Riemann evaluando como un límite iterado en el que el límite interior implica la suma,
$$\begin{align} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} &= \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)(1/m)} \\ &= \lim_{m \to \infty} \int_0^1 \frac{x}{1 + x/m} \, dx \\ &= \int_0^1 x \, dx \\ &= \frac{1}{2} \end{align}.$$
Los pasos de conversión a un límite doble y el paso del límite por debajo de la integral pueden justificarse en este caso utilizando la convergencia uniforme y dominada, respectivamente.
Esto plantea la cuestión de qué características generales de $f$ donde $\sum f(k,n)$ converge permitiría tales pasos. Sospecho que si $f$ es monótona, entonces esto puede funcionar en muchos más casos.
Por último, debemos abordar la forma general para el límite superior $a(n)$ que usted especifica como estrictamente creciente y, presumiblemente, con tendencia a $+\infty$ . Aquí encontramos problemas que surgen en términos de unicidad.
Un ejemplo es,
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{a(n)} \frac{n}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{a(n)} \frac{1}{1 + (k/n)^2} \\ = \begin{cases} 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a(n) = \sqrt{n} \\ \pi/4, \,\,\,\,\,a(n) = n\\ \pi/2, \,\,\,\,\, a(n) = n^2\end{cases}.$$
En el caso de $a(n) = n^2,$ esto se convierte en una integral de Riemann impropia.
