Suma de los valores propios de una matriz simétrica

Question

Problema para calcular la suma de valores propios de una matriz:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

Puedo calcular los valores propios mediante la ecuación característica y luego sumarlos. Sin embargo, la pista dada para este problema era que la suma de los valores propios es la suma de los elementos diagonales, por lo que se trata de una $10$ problema de seguridad.

Así que me pregunto si todas las matrices simétricas tienen esta propiedad (la suma de los valores propios de una matriz simétrica es la suma de sus elementos diagonales).

Pero no pude encontrar tal propiedad mencionada en línea o en el libro.

He probado con unas cuantas matrices simétricas en wolframalpha y parece que es cierto.

Por favor, ayude a aclarar esta duda.

Answer 1

La suma de los valores propios no es más que la suma de las raíces del polinomio característico, por lo que se codifica en un coeficiente de dicho polinomio por el teorema de Viete. Dicho coeficiente es sólo la suma de las entradas diagonales de la matriz, por lo que la suma de los valores propios es igual a la suma de las entradas diagonales para cualquier matriz.

Answer 2

El polinomio característico de un $n \times n$ matriz $A$ es $p(t)=\det(tI-A)=(t-\lambda_1)...(t-\lambda_n)$ , donde $\lambda_1,..,\lambda_n$ son los valores propios de $A$ . Puede ver que $p(t)= t^n - (\lambda_1+...+\lambda_n)t^{n-1}+...$

Por otro lado, escribe la expansión del determinante y observa que el único lugar donde puedes encontrar el término $t^{n-1}$ está en la expansión de $(t-a_{11})...(t-a_{nn})$ y se puede ver que el coeficiente de $t^{n-1}$ es $-(a_{11}+...+a_{nn})$ .

Answer 3

Por el Teorema Espectral podemos escribir una matriz simétrica $A$ como $UDU^*$ donde $D$ es una matriz diagonal con los valores propios de $A$ como sus entradas y $U$ una matriz ortonormal que contiene los vectores propios de $A$ .

La traza es invariante bajo transformaciones ortonormales por lo que $trace(A) = trace(UDU^*) = trace(D)$ es la suma de los valores propios.