¿Qué nueva información geométrica sobre una matriz nos proporciona la eigendecomposición de la misma?

Question

Dado que descomponemos la matriz en vectores y valores propios, supongo que tiene algún tipo de información geométrica.

Este vídeo parece sugerir una https://youtu.be/9YtmGy-wfE4?t=793 Sin embargo, no consigo relacionar el significado explicado con los componentes de la eigendecomposición.

¿Puede alguien explicarme el significado geométrico de la eigendecomposición?

Answer 1

Dejemos que $\varphi$ sea un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ . Si $v$ es un vector propio de $\varphi$ correspondiente al valor propio $\lambda$ Esto significa simplemente que $\varphi$ induce una homotecia de razón $\lambda$ en la línea generada por $v$ es decir, cada vector de esta línea se alarga en $\lambda$ . Obsérvese que esto puede extenderse al caso de un eigespacio $W$ .

Por ejemplo, si $\varphi : \Bbb R^2\to \Bbb R^2$ es el mapa lineal cuya matriz en la base canónica es $$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0& 3 \end{bmatrix}$$ entonces corresponde a estirar todo el eje x por un factor 2 y simultáneamente todo el eje y por un factor 3.

Editar: (respuesta a su comentario más abajo) Realizar la eigendecomposición de una matriz diagonalizable $A$ le da $A=PDP^{-1}$ donde:

• $D$ es la matriz diagonal que contiene los valores propios de $A$

• $P$ es una matriz invertible cuyas columnas forman los vectores de coordenadas de una base de $V$ que contiene los vectores propios de $A$ .

Geométricamente, multiplicando por $P$ a la izquierda y por $P^{-1}$ a la derecha corresponde simplemente a un cambio de base (véase la fórmula de cambio de base): se obtiene un conjunto de nuevos ejes de coordenadas donde el mapa lineal actúa como la matriz diagonal $D$ (estiramientos como antes).