¿Cómo saber si una curva tiene una parametrización regular?

Question

Una parametrización de una curva unidimensional se llama regular si su velocidad es siempre positiva. Por ejemplo, la siguiente parametrización:

$$x(t)=t^3, y(t)=t^6$$

no es regular porque su velocidad es 0 en $t=0$ .

Pero, esta misma curva puede ser re-parametrizada como:

$$x(t)=t, y(t)=t^2$$

y esta segunda parametrización es regular porque su velocidad en cualquier lugar es al menos 1.

Entonces, mi pregunta es: dada una parametrización no regular de una curva, ¿existe un algoritmo para saber si la curva tiene una parametrización regular, y encontrarla si existe?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Dejemos que $I$ sea un intervalo abierto no vacío de números reales, y $\gamma:I \to \Reals^{n}$ un camino continuamente diferenciable. (Esta hipótesis es discutible, pero no parece estar fuera de la intención del PO).

En cada punto donde $\gamma$ es regular, defina el campo tangente unitario $$ T(t) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}. $$ Por continuidad, el conjunto cero de $\gamma'$ es un subconjunto cerrado de $I$ es decir, el dominio de $T$ es un subconjunto abierto de $I$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el dominio de $T$ es el complemento de un conjunto discreto. (En términos generales, si hay intervalos en los que $\gamma' = 0$ "extirparlos y juntar sus puntos finales").

Reclamación : Los siguientes son equivalentes:

(i) $\gamma$ tiene una regularidad $C^{1}$ parametrización.

(ii) $T$ tiene una extensión continua a $I$ .

(i) implica (ii): El campo tangente unitario es independiente de la reparametrización monótona en el sentido de que si $\Gamma(t) = \gamma(\tau(t))$ para alguna función diferenciable $\tau$ con derivada positiva, entonces el campo tangente unitario de $\Gamma$ en $t$ es el campo tangente unitario de $\gamma$ en $\tau(t)$ . Si $\gamma$ tiene una regularidad $C^{1}$ reparametrización $\Gamma$ entonces el campo tangente unitario de $\Gamma$ extiende continuamente el campo tangente unitario de $T$ .

(ii) implica (i). Si $T$ tiene una extensión continua a $I$ (que seguimos denotando $T$ ), entonces $$ \Gamma(s) = \int_{0}^{s} T(t)\, dt $$ es una parametrización regular de $\gamma$ .

Para la curva en cuestión, tenemos $$ \gamma(t) = (t^{3}, t^{6}),\qquad \gamma'(t) = (3t^{2}, 6t^{5}),\qquad T(t) = \frac{(3t^{2}, 6t^{5})}{\sqrt{9t^{4} + 36t^{10}}} = \frac{(1, 2t^{3})}{\sqrt{1 + 4t^{6}}}, $$ que tiene una extensión continua en $t = 0$ (dado por la misma fórmula).

Para una cúspide, por ejemplo, tenemos $$ \gamma(t) = (t^{2}, t^{3}),\qquad \gamma'(t) = (2t, 3t^{2}),\qquad T(t) = \frac{(2t, 3t^{2})}{\sqrt{4t^{2} + 9t^{6}}} = \frac{t(2, 3t)}{|t|\sqrt{4 + 9t^{2}}}, $$ que no se extiende de forma continua a $0$ .