Ampliando mi comentario anterior.
Para el segunda parte de tu pregunta, que es la más fácil. Dos rectas rectas $$a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\qquad (1)\qquad\text{ and }a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\qquad(2)$$ son paralelas si y sólo si $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ porque sólo entonces su pendiente $% m=-a_{1}/b_{1}=-a_{2}/b_{2}$ es el mismo (en otras palabras, el sistema de ecuaciones lineales (1) y (2) no tiene soluciones, su determinante desaparece). Sea $b_{1}b_{2}\neq 0$ . En $(1)$ y $(2)$ obtenemos, respectivamente, $y=-\frac{ a_{1}}{b_{1}}x+\frac{c_{1}}{b_{1}}$ y $y=-\frac{a_{2}}{b_{2}}x+\frac{c_{2} }{b_{2}}$ . La primera línea cruza el $y$ -hacha en $(c_{1}/b_{1},0)$ mientras que el segundo, en $(c_{2}/b_{2},0)$ . Puesto que la línea recta paralela a estas dos y equidistante a ellas cruza la $y$ -hacha en $\left( \left( c_{1}/b_{1}+c_{2}/b_{2}\right) /2,0\right) $ y tiene la misma pendiente $m$ , su ecuación es $$y=-\frac{a_{1}}{b_{1}}x+\frac{1}{2}\left( \frac{c_{1}}{b_{1}}+\frac{c_{2}}{b_{2}}\right) ,\qquad (3)$$ que equivale a $$a_{1}x+b_{1}y-\frac{\ c_{1}b_{2}+c_{2}b_{1}}{2b_{2}}=0 .\qquad (4)$$
Sin pérdida de generalidad, supongamos que $b_{1}=0$ y $a_{1}\neq 0$ . Entonces $(1)$ se convierte en $x=c_{1}/a_{1}$ y $(2)$ debe ser de la forma $x=c_{2}/a_{2}$ si ambas rectas son paralelas. La recta equidistante a ambas viene dada por la ecuación $x=\left( c_{1}/a_{1}+c_{2}/a_{2}\right) /2$ .
Si sus ecuaciones son $y=c_{1}/b_{1}$ y $y=c_{2}/b_{2}$ la línea equidistante a ellas viene dada por $y=\left( c_{1}/b_{1}+c_{2}/b_{2}\right) /2$ .
Añadido . En cuanto a la pregunta principal Obtuve una solución diferente, a saber, las líneas cuyas ecuaciones son
$$\left( a_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-a_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}% \right) x+\left( b_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-b_{2}\sqrt{% a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\right) y$$
$$=c_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-c_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\qquad \left( 5\right) $$
y
$$\left( a_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+a_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}% \right) x+\left( b_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+b_{2}\sqrt{% a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\right) y$$
$$=c_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+c_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\qquad \left( 6\right) $$
La distancia $d$ desde un punto $M(x_{M},y_{M})$ a una línea recta $r$ cuyo ecuación es $Ax+By+C=0$ puede derivarse algebraicamente de la siguiente manera:
i) Halla la ecuación de la recta $s$ de paso $M$ y ser ortogonal a $r$ . Llame a $N$ el punto de intersección de $r$ y $s$ ;
ii) Hallar las coordenadas de $N(x_{N},y_{N})$ ;
iii) Hallar la distancia desde $M$ a $N$ . Esta distancia es $d$ ;
tras lo cual obtenemos la fórmula
$$d=\frac{\left\vert Ax_{M}+By_{M}+C\right\vert }{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.\qquad (\ast )$$
Las distancias desde $M$ a las líneas $(1)$ y $(2)$ vienen dadas por
$$d_{i}=\frac{\left\vert a_{i}x_{M}+b_{i}y_{M}-c_{i}\right\vert }{\sqrt{ a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}}.\qquad i=1,2$$
Los puntos $P(x,y)$ que son equidistantes a las líneas (1) y (2) definen dos rectas que son las soluciones de $d_{1}=d_{2}$ :
$$\frac{\left\vert a_{1}x+b_{1}y-c_{1}\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{\left\vert a_{2}x+b_{2}y-c_{2}\right\vert }{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}. \qquad (\ast \ast )$$
Por lo tanto, RHS y LHS deben tener el mismo signo o signo opuesto:
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y-c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y-c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.\qquad (\ast \ast \ast )$$
Ecuaciones $(5)$ y $(6)$ para las dos bisectrices de ángulos siguen.
Ejemplo : Para $a_{1}=b_{1}=b_{2}=c_{1}=1,a_{2}=c_{2}=2$ tenemos $x+y=1$ y $2x+y=2$ . Las líneas equidistantes son
$$\left( \sqrt{5}-2\sqrt{2}\right) x+\left( \sqrt{5}-\sqrt{2}\right) y=\sqrt{5% }-2\sqrt{2}$$
y
$$\left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}\right) x+\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right) y=\sqrt{5}+2\sqrt{2}.$$
![enter image description here]()
Gráfico de $x+y=1$ , $2x+y=2$ y bisectrices de ángulos.
