Ecuación de la bisectriz de un ángulo, dadas las ecuaciones de dos rectas en 2D

Question

Tengo dos líneas en 2D expresadas con ecuación general (o ecuación implícita ):

Primera línea: $a_1x+b_1y=c_1 \qquad(1)$

Segunda línea: $a_2x+b_2y=c_2 \qquad(2)$

Si las dos rectas se cruzan, tendré que hallar la ecuación de la recta bisectriz del ángulo.

Si las dos rectas son paralelas necesitaré encontrar la ecuación de la recta "media" (no sé el nombre "correcto" para esta recta, ¿quizás "eje medio"?).

Por ejemplo, si las dos líneas paralelas son $x=1$ y $x=-1$ entonces la línea "media" será $x=0$ .

He encontrado un fragmento de código donde la línea bisectriz del ángulo es

$(a_1+a_2)x+(b_1+b_2)y=c_1+c_2 \qquad(3)$

pero no entiendo por qué (aparte de los casos sencillos de líneas paralelas verticales u horizontales).

Answer 1

Ampliando mi comentario anterior.

Para el segunda parte de tu pregunta, que es la más fácil. Dos rectas rectas $$a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\qquad (1)\qquad\text{ and }a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\qquad(2)$$ son paralelas si y sólo si $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ porque sólo entonces su pendiente $% m=-a_{1}/b_{1}=-a_{2}/b_{2}$ es el mismo (en otras palabras, el sistema de ecuaciones lineales (1) y (2) no tiene soluciones, su determinante desaparece). Sea $b_{1}b_{2}\neq 0$ . En $(1)$ y $(2)$ obtenemos, respectivamente, $y=-\frac{ a_{1}}{b_{1}}x+\frac{c_{1}}{b_{1}}$ y $y=-\frac{a_{2}}{b_{2}}x+\frac{c_{2} }{b_{2}}$ . La primera línea cruza el $y$ -hacha en $(c_{1}/b_{1},0)$ mientras que el segundo, en $(c_{2}/b_{2},0)$ . Puesto que la línea recta paralela a estas dos y equidistante a ellas cruza la $y$ -hacha en $\left( \left( c_{1}/b_{1}+c_{2}/b_{2}\right) /2,0\right)$ y tiene la misma pendiente $m$ , su ecuación es $$y=-\frac{a_{1}}{b_{1}}x+\frac{1}{2}\left( \frac{c_{1}}{b_{1}}+\frac{c_{2}}{b_{2}}\right) ,\qquad (3)$$ que equivale a $$a_{1}x+b_{1}y-\frac{\ c_{1}b_{2}+c_{2}b_{1}}{2b_{2}}=0 .\qquad (4)$$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $b_{1}=0$ y $a_{1}\neq 0$ . Entonces $(1)$ se convierte en $x=c_{1}/a_{1}$ y $(2)$ debe ser de la forma $x=c_{2}/a_{2}$ si ambas rectas son paralelas. La recta equidistante a ambas viene dada por la ecuación $x=\left( c_{1}/a_{1}+c_{2}/a_{2}\right) /2$ .

Si sus ecuaciones son $y=c_{1}/b_{1}$ y $y=c_{2}/b_{2}$ la línea equidistante a ellas viene dada por $y=\left( c_{1}/b_{1}+c_{2}/b_{2}\right) /2$ .

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Añadido . En cuanto a la pregunta principal Obtuve una solución diferente, a saber, las líneas cuyas ecuaciones son

$$\left( a_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-a_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}% \right) x+\left( b_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-b_{2}\sqrt{% a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\right) y$$

$$=c_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}-c_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\qquad \left( 5\right)$$

y

$$\left( a_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+a_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}% \right) x+\left( b_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+b_{2}\sqrt{% a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\right) y$$

$$=c_{1}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+c_{2}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\qquad \left( 6\right)$$

La distancia $d$ desde un punto $M(x_{M},y_{M})$ a una línea recta $r$ cuyo ecuación es $Ax+By+C=0$ puede derivarse algebraicamente de la siguiente manera:

i) Halla la ecuación de la recta $s$ de paso $M$ y ser ortogonal a $r$ . Llame a $N$ el punto de intersección de $r$ y $s$ ;

ii) Hallar las coordenadas de $N(x_{N},y_{N})$ ;

iii) Hallar la distancia desde $M$ a $N$ . Esta distancia es $d$ ;

tras lo cual obtenemos la fórmula

$$d=\frac{\left\vert Ax_{M}+By_{M}+C\right\vert }{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.\qquad (\ast )$$

Las distancias desde $M$ a las líneas $(1)$ y $(2)$ vienen dadas por

$$d_{i}=\frac{\left\vert a_{i}x_{M}+b_{i}y_{M}-c_{i}\right\vert }{\sqrt{ a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}}.\qquad i=1,2$$

Los puntos $P(x,y)$ que son equidistantes a las líneas (1) y (2) definen dos rectas que son las soluciones de $d_{1}=d_{2}$ :

$$\frac{\left\vert a_{1}x+b_{1}y-c_{1}\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{\left\vert a_{2}x+b_{2}y-c_{2}\right\vert }{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}. \qquad (\ast \ast )$$

Por lo tanto, RHS y LHS deben tener el mismo signo o signo opuesto:

$$\frac{a_{1}x+b_{1}y-c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y-c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.\qquad (\ast \ast \ast )$$

Ecuaciones $(5)$ y $(6)$ para las dos bisectrices de ángulos siguen.

Ejemplo : Para $a_{1}=b_{1}=b_{2}=c_{1}=1,a_{2}=c_{2}=2$ tenemos $x+y=1$ y $2x+y=2$ . Las líneas equidistantes son

$$\left( \sqrt{5}-2\sqrt{2}\right) x+\left( \sqrt{5}-\sqrt{2}\right) y=\sqrt{5% }-2\sqrt{2}$$

y

$$\left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}\right) x+\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right) y=\sqrt{5}+2\sqrt{2}.$$

Gráfico de $x+y=1$ , $2x+y=2$ y bisectrices de ángulos.

Answer 2

Yo diría que la respuesta de Américo ha cubierto bastante bien la solución algebraica, pero creo que hay cierta elegancia en usar trigonometría aquí. Digamos que sus dos líneas son $y=m_1x+b_1$ y $y=m_2x+b_2$ y que se cruzan en $(x_0,y_0)$ (o, mejor dicho, que se trata de un punto de la bisectriz del ángulo). En realidad no sigo directamente el enunciado original de tu problema, sino que sólo intento dar una idea de la técnica.

Los ángulos agudos dirigidos formados por las líneas y el positivo $x$ -son $\theta_1=\arctan(m_1)$ y $\theta_2=\arctan(m_2)$ por lo que el ángulo agudo dirigido formado por una bisectriz del ángulo y el positivo $x$ -eje es $\theta_3=\frac{\theta_1+\theta_2}{2}$ por lo que tiene pendiente $m_3=\tan\theta_3=\tan\left(\frac{\arctan(m_1)+\arctan(m_2)}{2}\right)$ .

Ahora, una ecuación para esta bisectriz de ángulo es $y-y_0=m_3(x-x_0)$ o $$y-y_0=\tan\left(\frac{\arctan(m_1)+\arctan(m_2)}{2}\right)(x-x_0).$$ La otra bisectriz del ángulo sería perpendicular a ésta, por lo que tendría pendiente $-\frac{1}{m_3}=-\cot\left(\frac{\arctan(m_1)+\arctan(m_2)}{2}\right)$ y una ecuación para ello sería $$y-y_0=-\cot\left(\frac{\arctan(m_1)+\arctan(m_2)}{2}\right)(x-x_0).$$

Resulta que la expresión para $m_3$ puede simplificarse a una expresión puramente algebraica (aplicando identidades trigonométricas, etc.): $$m_3=\frac{m_1m_2-1+\sqrt{m_1^2+1}\sqrt{m_2^2+1}}{m_1+m_2}$$

Con esto, las dos líneas se convierten en $$y-y_0=\frac{m_1m_2-1+\sqrt{m_1^2+1}\sqrt{m_2^2+1}}{m_1+m_2}(x-x_0)$$ y $$y-y_0=-\frac{m_1+m_2}{m_1m_2-1+\sqrt{m_1^2+1}\sqrt{m_2^2+1}}(x-x_0).$$

Answer 3

¿Por qué no consulta este enlace?

• http://www.ditutor.com/line/equation_bisector.html