¿Cada invariante de Lorentz es un escalar de Lorentz?

Question

Todos los ejemplos de magnitudes invariantes de Lorentz que he encontrado parecen ser escalares: masa en reposo, tiempo propio, intervalo espaciotemporal, producto punto de dos 4 vectores, etc. Otra cosa es que todos ellos son contracciones de índices.

Así que, ¿Existe alguna cantidad invariante de Lorentz que no sea un escalar de Lorentz?

(Mi opinión es que no la hay: si la cantidad no es escalar, debe tener índices. Tal cosa debe ser un tensor de rango no nulo. Pero una cosa que es un tensor bajo la transformación de lorentz tendrá sus componentes que cambian de marco a marco y por lo tanto no puede ser un invariante. Una laguna en este razonamiento es suponer que la cantidad indexada es de hecho un tensor de algún rango. Así, ¿es posible tener cantidades indexadas construidas a partir del espaciotiempo que no sean tensores? )

Answer 1

"Escalar" y "invariante de Lorentz" son sinónimos en el contexto de la relatividad especial y general.

Sin embargo, es posible tener tensores constantes cuyos componentes no cambian realmente cuando se transforman, como el tensor métrico de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ en la Relatividad Especial. No los llamamos "invariantes". Algunos llaman a estos tensores "isótropos"; otros reservan esta terminología para los tensores constantes en los espacios de Riemann, como el delta de Kronecker $\delta_{ij}$ en lugar de las de los espacios semirriemannianos.

En cuanto a las cantidades indexadas construidas a partir del espaciotiempo que no son tensores... Las coordenadas $x^\mu$ tienen un índice pero no constituyen un tensor en el espaciotiempo curvo. (Pero $dx^\mu$ es un tensor). Las transformaciones de Lorentz $\Lambda^\mu{}_\nu$ tienen dos índices pero no son tensores. Los símbolos de Christoffel tienen tres índices pero no son tensores.

"Escalar" significa "tensor de rango 0". "Vector" significa "tensor de rango 1". Los tensores siempre se definen con respecto a un grupo de transformación concreto, por lo que puede haber tensores rotacionales, tensores de Lorentz, etc.

Answer 2

Cada invariante de Lorentz es un Lorentz escalar. Eso es cierto por definición.

El truco aquí es especificar que un objeto es un escalar, vector, tensor, espinor, etc con respecto a .

Por ejemplo, la carga eléctrica densidad es un escalar con respecto a las rotaciones espaciales, pero no con respecto a los impulsos.

Asimismo, el cuatro-momento de una partícula neutra puede ser un vector con respecto a las transformaciones de Lorentz, pero un escalar con respecto a las transformaciones gauge, mientras que, por ejemplo, un quark se transforma no sólo bajo las transformaciones de Lorentz, sino también bajo las transformaciones gauge U(1) y SU(3).