Así pues, la proposición está en el título, y la pista que se da es: demostrar que $(U(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}),\cdot)$ no es un grupo cíclico si $n\ge 3$ .
Probé la pista, observando los subgrupos generados por $-1$ y $2^{n-1}+1$ son distintos y tienen ambos el orden $2$ , lo que no puede ocurrir en un grupo cíclico.
Entonces tengo la siguiente solución que escribió mi yo del pasado:
Supongamos por contradicción que para cualquier $l$ hay algún primo $p$ tal que $f_l$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$ entonces $\large\frac{\mathbb{F}_p[x]}{(f_l)}$ contiene todas las raíces, es decir $\alpha,\alpha^p,\dots,\alpha^{\large p^{2^l-1}}$ . Entonces $\lvert U(\mathbb{Z}/2^{l+1}\mathbb{Z})\rvert = 2^l$ y está obligado a ser cíclico, lo que es una contradicción por la pista.
Ahora, estoy de acuerdo con el hecho de las raíces, debido al automorfismo de Frobenius, pero realmente no veo por qué $U(\mathbb{Z}/2^{l+1}\mathbb{Z})$ se vería obligado a ser cíclico...
Gracias por cualquier ayuda :)
