problema en grupo de orden $2016$

Question

1. Dejemos que $G$ un grupo de orden $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ en la que todos los elementos de orden $7$ son conjugados. Demostrar que $G$ tiene un subgrupo normal de índice $2$ .

Sé que todos los elementos del orden $7$ son conjugados del mismo elemento. Sea $n_7$ el número de Sylow $7-$ subgrupos. Entonces, si consideramos la acción de $G$ en $G$ por conjugación tenemos que $$|\mathcal{O}(x)|\cdot|C_G(x)|=|G|$$ así que $6n_7\cdot|C_G(x)|=|G|=2^5\cdot 3^2\cdot 7 \Rightarrow (7k+1)\cdot|C_G(x)|=2^4\cdot 3\cdot 7 \Rightarrow k=0$ ou $k=1$ .

Si $k=0$ entonces $P_7\lhd G$ por lo que $|G/P_7|=2^5\cdot 3^2$ y queda por encontrar un subgrupo de índice $2$ en el cociente.

Si $k=1$ entonces $n_7=8$ entonces tenemos $|C_G(x)|=2\cdot 3\cdot 7$ pero tampoco veo cómo proceder.

Pregunta : ¿Alguna idea o pista sobre este problema?

[Encontré esto en PROBLEMAS DE EXAMEN DE CALIFICACIÓN DE ALGEBRA GROUP THEORY (Kent State University)]

Answer 1

En el primer caso, se tiene una secuencia exacta $1 \rightarrow P_7 \rightarrow G \rightarrow G/P_7 \rightarrow 1$ por lo que a (por hipótesis transitiva en $P_7 \backslash \{0\}$ porque $P_7$ es cíclico) acción de $G/P_7$ en $P_7$ es decir, un homomorfismo no trivial $h: G/P_7 \rightarrow Aut(P_7)=\mathbb{Z}/(6)$ .

Nótese que cualquier subgrupo propio de $Aut(P_7)$ no actúa transitivamente sobre $P_7 \backslash \{0\}$ para que $h$ está en. Entonces ya está más o menos hecho.

En el segundo caso, $G$ actúa transitivamente por conjugación en sus ocho $7$ -Sylow, por lo que obtenemos un morfismo $h: G \rightarrow S_8$ . Si hay un $g \in G$ que actúa como una permutación impar, podemos considerar el núcleo de la firma y ya está - así que supongamos que no ocurre y $h(G) \subset A_8$ .

Toma un poco de $x$ de orden $7$ , considere su normalizador $N$ (de cardinalidad $2016/8=252$ de Sylow). Luego, a través de $h$ , $H$ se envía a un subgrupo de $A_7$ (el grupo de permutaciones pares que fijan $x$ ).

Si $N$ normaliza todos los $7$ -Sylows, $x$ normaliza todos los $7$ -Sylows para que tengamos un mapa $\langle x \rangle \rightarrow Aut(P)$ para cualquier $7$ -Sylow $P$ . Pero (cardinalidad) se deduce que $x$ centraliza cada $7$ -Sylow. Por conjugación cada elemento de orden $7$ centraliza $x$ . Pero eso hace que $49$ elementos que centralizan $x$ una contradicción.

Así que $x \in N$ se asigna a un $7$ -ciclo de $A_7$ .

Pero el centralizador $C_7$ y el normalizador $N_7$ de un $7$ -ciclo $c$ en $S_7$ se puede demostrar que está en una secuencia exacta corta $1 \rightarrow C_7 \rightarrow A_7 \rightarrow Aut(\langle c \rangle) \rightarrow 1$ y se ve fácilmente que $C_7=\langle c \rangle =\mathbb{Z}/(7)$ para que $|N_7|=42$ . Tenga en cuenta que $(243756)$ normaliza $(1234567)$ sin estar en $A_7$ para que $N_7 \cap A_7$ tiene una cardinalidad exacta $21$ .

Así, $h(N)$ tiene una cardinalidad que divide a $21$ , es decir, el núcleo de $h$ , intersectada con $N$ tiene una cardinalidad múltiplo de $12$ .

Así, el núcleo $H$ de $G$ tiene una cardinalidad múltiplo de $12$ y no es divisible por $7$ , $G’=G/H$ tiene una cardinalidad que divide a $168$ y un múltiplo de $7$ .

Tenga en cuenta que si $x,y \in G$ son del orden $7$ e igual mod $H$ entonces $h(x)=h(y)$ Así que (puntos fijos) $x,y$ están en el mismo $7$ -Sylow de $G$ por lo tanto son iguales.

De ello se desprende que $G’$ tiene al menos $48$ elementos de orden $7$ y como tiene como máximo ocho $7$ -Sylows (de cardinalidad $7$ ) tiene exactamente $48$ tales elementos.

Así, $G \rightarrow G’$ es una biyección entre los elementos de orden $7$ por lo que la acción de $G’$ en su $48$ elementos de orden $7$ es transitivo. Pero $48$ no divide $|G’|$ desde $48$ no divide $168$ ...