Relatividad de la paradoja de la temperatura

Question

El escenario imaginado:

Parte A:

De la relatividad especial de einstein sabemos que la velocidad es un pariente cantidad física, es decir, depende del marco de referencia de la elección. Esto significa que la energía cinética también es relativo, pero esto no quebrantar la ley de conservación de la energía mientras que somos coherentes con nuestra elección de marco. Hasta ahora tan bueno.

Parte B:

Por otro lado, a partir de la mecánica estadística, sabemos que el promedio de la energía cinética de un sistema y su temperatura está directamente relacionada con la constante de Boltzmann $$ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$ lo que conduce a la conclusión de que cuando la noción de la temperatura en la física se expresa en términos de un sistema de energía cinética, entonces también debe ser una cantidad relativa, que es un poco alucinante, porque yo siempre había pensado de la temperatura absoluta.

Parte C:

Además, sabemos que todos los objetos a la no-cero de temperatura, irradian energía electromagnética con una longitud de onda dada como una función del cuerpo y la temperatura del objeto, esto es la radiación de cuerpo negro. Por lo tanto, en principio, soy capaz de inferir una temperatura del objeto (es decir, la temperatura de su propio descanso-marco de referencia) por la medición de la radiación emitida, independientemente de la trama que me encuentro. Pero esto parece violar el esperado previamente la relatividad de la temperatura como se define por el promedio de la energía cinética.

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Las propuestas de resolución:

Las resoluciones que me imagino que a esta paradoja son:

• a) Según el marco de referencia desde el que puedo medir la emisión de radiación de cuerpo negro del objeto, la radiación será sometido a diferentes Doppler color azul/rojo-turnos. Así, la relatividad de la temperatura en el contexto de la radiación de cuerpo negro, se conserva debido al efecto Doppler.

• b) sospecho que el tratamiento de la temperatura como de la nada, pero un promedio de la energía cinética no en general, y para resolver esta paradoja, se debería trabajar con una definición más general de la temperatura (que admito que no sé cómo, en general, la temperatura debería ser definido, si no en términos de estado de movimiento de un sistema de partículas).

El caso a) resuelve este hipotético paradoja, incluyendo el efecto Doppler, pero no contradice la relatividad de la temperatura.

Caso b) por otro lado, se resuelve el problema por difícil la definición que se utilizó para la temperatura, que en el caso que nos definir la temperatura de manera más general, sin relativas a la energía cinética, puede dejar de temperatura como una cantidad absoluta y no relativa a un marco.

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Pregunta principal:

• Pero seguramente sólo uno puede ser correcto aquí. Lo que nos lleva a preguntar: ¿cuál fue el error lógico(s) cometidos en el escenario anterior? En caso de que no hubo error, cual de las dos propuestas de acuerdos son correctas? Si no, ¿cuál es entonces la respuesta aquí? Muy curioso de leer tu entrada.

Answer 1

La temperatura está relacionada con la energía cinética en el marco del resto del líquido/gas. No relatvistic la teoría cinética de la función de distribución es $$ f(p) \sim \exp\left(-\frac{(\vec{p}-m\vec{u})^2}{2mT}\right) $$ donde $\vec{u}$ es el local de la velocidad del fluido. La velocidad se puede encontrar exigente que la media de impulso en el local marco del resto es cero. A continuación, $\vec{u}$ transformación de un vector bajo transformaciones de Galileo, y $T$ es un escalar.

En la teoría cinética relativista $$ f(p) \sim \exp\left(-\frac{p\cdot u}{T}\right) $$ donde $p$ es el de cuatro impulso, $u$ es el cuatro de velocidad, y $T$ es la temperatura de escalar. El resto marco se define por $\vec{u}=0$, y en el marco del resto $f\sim \exp(-E_p/T)$, como se esperaba.

El relativista resultado se conoce como el Juttner de distribución (Juttner, 1911), y se discute en los textos estándar en la teoría cinética relativista, por ejemplo Cercignani y Kremer , equ. (2.124), y de Groot et al , equ (ch4)(25). Véase también (2.120) en Rezzolla y Zanotti. Para una intro disponible online ver equ. (55-58) de Romatschke de la revisión.

En última instancia, la mayoría de la definición general de las $T$ proviene de los locales de la termodinámica (dinámica de fluidos), no la teoría cinética, debido a una fuerte correlación de los fluidos (clásica o cuántica) no se describen en la teoría cinética. La forma estándar de relativista de la dinámica de fluidos (desarrollado por Landau, y el explica en su libro sobre la dinámica de fluidos) también presenta una relarivistic 4-la velocidad de la $u_\mu$ ( $u^2=1$ ), y un escalar temperatura $T$, definido por la termodinámica de las identidades, $dP=sdT+nd\mu$. El fluido ideal tensor de tensiones es $$ T_{\mu\nu}=({\cal E}+P) u_\mu u_\nu-Pg_{\mu\nu} $$ donde ${\cal E}$ es la densidad de energía y $P$ es la presión. Tenga en cuenta que para una cinética del sistema el parámetro de $u_\mu$ en el Juttner distribución es la velocidad del fluido, como sería de esperar. Más en general, la velocidad del fluido puede ser definido por $u^\mu T_{\mu\nu}={\cal E}u_\nu$, lo cual es válido, incluso si disipativo correcciones son tomadas en cuenta.

Con respecto a la `paradoja": la Temperatura no es relativa, es un escalar. La relación de a en B es correcta sólo en el marco del resto. El efecto Doppler es, por supuesto, un efecto físico real. El espectro visto por un observador en movimiento vith velocidad relativa $v$$f\sim\exp(-p\cdot v/T)$, que exhibe un color rojo/azul de turno. El espectro sólo depende de la velocidad relativa, como debe ser. La medición del espectro puede ser utilizado para determinar la velocidad relativa y la temperatura. Sin embargo, si usted mira una estrella distante, que sólo miden la luz que viene en una sola dirección. A continuación, con el fin de desentrañar $u$$T$, necesita una línea espectral, o información sobre la luminosidad absoluta.

Answer 2

[Junio de 19,2016: revisado minuciosamente, dando una forma más detallada, la presentación comparada y mejores referencias]

En relativista de la termodinámica, y la inversa de la temperatura de $\beta^\mu$ es un campo vectorial, es decir, los multiplicadores de la 4-impulso de la densidad en el exponente de la densidad del operador que especifica el sistema en términos de la mecánica estadística, utilizando el método de máxima entropía, donde $\beta^\mu p_\mu$ (en unidades donde el $c=1$) sustituye el término $\beta H$ de la nonrelativistic canónica conjunto. Esto se hace en

C. G. van Weert, la Máxima entropía principio y la hidrodinámica relativista, Anales de la Física 140 (1982), 133-162.

para el clásico de la mecánica estadística y para cuántica, mecánica estadística en

T. Hayata et al., Relativista de la hidrodinámica de la teoría cuántica de campos en la base de la generalización de Gibbs conjunto de método, Phys. Apo. D 92 (2015), 065008. https://arxiv.org/abs/1503.04535

Para una extensión de la teoría de la relatividad general con spin ver también

F. Becattini, Covariante de la mecánica estadística y la tensión de la energía del tensor, Phys. Apo. Lett 108 (2012), 244502. https://arxiv.org/abs/1511.05439

Se puede definir un escalar temperatura $T:=1/k_B\sqrt{\beta^\mu\beta_\mu}$ y un campo de velocidad $u^\mu:=k_BT\beta^\mu$ para el líquido, a continuación,$\beta^\mu=u^\mu/k_BT$, y la función de distribución para un fluido ideal, toma la forma de un Jüttner distribución $e^{-u\cdot p/k_BT}$.

Para un fluido ideal, se obtiene el formato comúnmente utilizado en la hidrodinámica relativista (véase el Capítulo 22 del libro de Misner, Thorne, Wheeler, la Gravitación). Asciende el tratamiento de la termodinámica nonrelativistically en el marco del resto del líquido.

Tenga en cuenta que la definición de la temperatura en consonancia con la canónica conjunto de necesidades de distribución de la forma $e^{-\beta H - terms~ linear~ in~ p}$, de conformidad con la identificación de la noncovariant $\beta^0$ como la inversa de la canónica de la temperatura. Esto está de acuerdo con la noncovariant definición de temperatura utilizado por Planck y Einstein; cf. la discusión en

R. Balescu, Relativista estadística termodinámica, Physica 40 (1968), 309-338.

En contraste, la covariante Jüttner de distribución que tiene la forma de $e^{-u_0 H/k_BT - terms~ linear~ in~ p}$. Por lo tanto, la covariante escalar la temperatura difiere de la canónico por un dependiente de la velocidad factor de $u_0$. Esto explica los diferentes transformación de la ley. La covariante escalar la temperatura es simplemente canónica de la temperatura en el marco del resto, se volvió covariante por redefinición.

La situación es más complicada en el más realista de los disipadores caso. Una vez que uno se permite la disipación, que asciende a ir de Euler para Navier-Stokes en la nonrelativistic caso, tratando de generalizar esta simple formulación funciona en problemas. Por lo tanto no puede ser completamente correcta. En un gradiente de expansión en los bajos de la orden, el campo de velocidad se define por encima de $\beta^\mu$ pueden ser identificados en la Landau-Lifschitz marco con el campo de velocidad proporcional a la energía actual; ver (86) en Hayata et al.. sin Embargo, en general, esta identificación implica una aproximación ya que no hay razón para estos campos de velocidad sea exactamente paralela; véase, por ejemplo,

P. Van y T. S. Biró, de Primer orden y estable relativista disipativo hidrodinámica, Physics Letters B 709 (2012), 106-110. https://arxiv.org/abs/1109.0985

Hay varias maneras de aplicar el parche a la situación, a partir de una cinética de descripción (válido para diluir los gases): en La primera razonable de la formulación de Israel y Stewart se basa en un primer orden de gradiente de expansión se volvió a exhibir acausal de comportamiento y no a ser termodinámicamente coherente. Extensiones de segundo orden (por Romatschke, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/0902.3663) o de tercer orden (por El et al., https://arxiv.org/abs/0907.4500) corrección de los problemas de baja densidad, pero el cambio de las dificultades sólo a los términos de orden superior (véase la Sección 3.2 de Kovtun, https://arxiv.org/abs/1205.5040).

Una causal y termodinámicamente coherente formulación que involucran campos adicionales fue dado por Mueller y Ruggeri en su libro Ampliado de la Termodinámica de 1993 y su 2ª edición, llamada Racional ampliado de la Termodinámica de 1998.

Tenga en cuenta que la fórmula $\langle E\rangle = \frac32 k_B T$ es válido sólo en circunstancias muy especiales (nonrelativistic ideales monoatómicos de gas en su marco del resto), y no generalizar. En general no existe una simple relación entre la temperatura y la velocidad. Se puede decir que su paradoja surge porque en los tres escenarios, tres conceptos diferentes de temperatura se utilizan.

Answer 3

En la teoría cinética de los gases, es sólo definir la temperatura de las moléculas que están en constante, aleatorioy movimiento rápido. Así que si tienes un recipiente con un gas a temperatura $T$ no cambia la energía interna del gas moviendo uniformemente el contenedor. Movimiento uniformemente el contenedor da todas las moléculas un movimiento promedio de cero, pero que no afecta el movimiento aleatorio de las moléculas que componen el gas.

Answer 4

Creo que es un error definir la temperatura promedio de la energía de la molécula en todos los marcos de referencia. La razón es clara: tomar todas las partículas y enviar a $100 m/s$ a del norte. Esto no hará que el gas más caliente, igual que el ventilador no enfriar/calentar el aire (otro gran misterio!). El movimiento organizado no participar en la noción de temperatura. Aparentemente, tiene que ser definidos en el marco del resto de gases de tener sentido.

Un cálculo simple en mente muestra una contradicción. Si se define una temperatura a través de la energía, tenemos que concluir que la temperatura se transforma como una energía (que es una parte de un impulso 4-vector). Pero si intenta expandir a través de la velocidad, inmediatamente se ve que la velocidad al cuadrado se transforma en una forma bastante fea manera y no simplificar el vector componente de transformación. Primero de todo, creo que la fórmula para la energía que usted toma no es correcta en el caso relativista.

Siguiente, a la medida! Creo que esta respuesta es correcta en la distinción de la observación de la temperatura a partir de su definición estadística. Usted puede juzgar acerca de la temperatura de un cuerpo desde el espectro de radiación de cuerpo negro que produce, pero esta no es la medición de la temperatura, pero la medición de la radiación a la que está sujeto a la relativista de corrimiento al rojo.

Answer 5

Todo tipo de cosas extrañas suceden si intenta definir la temperatura de un objeto en movimiento. La paradoja es para mí (no generalizada aceptado respuesta) se resuelve por darse cuenta de que la temperatura debe ser definido como se mide cuando el objeto está inmóvil. No sólo no es un escalar, pero no está aún bien definido para areference marco en movimiento relativo. Es la temperatura de un invariante de Lorentz de la relatividad?

Otro problema al que se menciona es , para un objeto en movimiento que está en equilibrio térmico en su propio marco de referencia, que como se ha visto en el marco de referencia donde el objeto está en movimiento, la distribución de las partículas " velocidades ya no sigue la distribución de boltzmann, ni siquiera con respecto al centro de masa: las partículas se mueven perpendicularmente al movimiento del objeto no cambiará su velocidad promedio, pero aquellos que se desplazan en paralelo a la del objeto. Además, debido a que las composiciones de las velocidades no es lineal, esta desviación no será simétrica entre aquellos que se desplazan en la misma dirección que el centro de masa y los movimientos opuestos al centro de masa.