Recientemente en mi clase se habló de una secuencia de conjuntos $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \dots $ donde cada conjunto tiene una medida infinita. Aunque he encontrado un ejemplo que viola la igualdad (que era el punto del ejercicio): $$\mu(\bigcap_{n=1}^\infty A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mu(A_n),$$ a saber, $$ A_n = [n, \infty[, \text{ where } n \in \mathbb{N}^+,$$ Todavía estoy un poco desconcertado de cómo lo hice. Veo que la medida de la intersección de los conjuntos es $0$ como puede demostrarse por contradicción (suponiendo que no estuviera vacío, conteniendo un número real positivo $r$ pero luego $r \notin [\lceil{r}\rceil, \infty[$ por lo que no puede ser una intersección de todos los conjuntos).
En cuanto a $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(A_n)$ Estoy un poco en conflicto:
- Por un lado, $\forall \ n \ \mu(A_n) = \infty$ . Por lo tanto, $\lim_{n \rightarrow \infty} \infty = \infty$
- Por otro lado, $\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \varnothing$ . Por lo tanto, $\mu(\lim_{n \rightarrow \infty}A_n) = 0$ .
Entonces, ¿tengo razón al concluir que en general $\mu(\lim_{n \rightarrow \infty}A_n) \neq \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(A_n)$ ? ¿Por qué? Gracias por aclarar estas cuestiones.
