Demuestre que si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices y $x$ y $y$ son dos vectores en $\mathbb{R}^n$ entonces

Question

Demuestre que si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices y $x$ y $y$ son dos vectores en $R^n$ entonces el producto escalar de $Ax$ y $By$ es el mismo que el producto escalar de $x$ y $(A^TB)y$ .

Soy muy malo para demostrar o probar una afirmación general. Se agradecerían consejos o ejemplos sobre cómo debo proceder

Answer 1

Probablemente el producto escalar de $x$ y $y$ se define como $$ x^Ty $$ por lo que el producto escalar de $Ax$ y $By$ es $$ (Ax)^T(By)=(x^T A^T) (By) $$ Entonces

Answer 2

HINT : Se puede escribir el producto escalar $\langle u,v\rangle$ de $u$ y $v$ como $u^\top v$ . Así se consigue la propiedad fundamental y útil: $\langle Cx,y \rangle = \langle x,C^\top y\rangle$ .