Sobre las formas de demostrar que un anillo es un UFD.

Question

Estoy haciendo un ejercicio en el que tengo un anillo conmutativo con unidad $R$ . Tuvimos que encontrar que las no unidades formaban un ideal (máximo). Después, encontramos los elementos irreducibles, y entonces vimos que el conjunto de elementos irreducibles era igual al conjunto de elementos primos en $R$ .

A partir de aquí, la siguiente sección del ejercicio es: Demostrar que $R$ es un UFD. Encuentra el conjunto de ideales de $R$ .

Traté de encontrar la manera más fácil de probar que $R$ es un UFD con la información que tenemos hasta ahora, y parece que está demostrando que si $R$ es un dominio y $a$ es irreducible $\iff$ $a$ es primo (porque ya sabemos que el conjunto de los primos y los irreducibles es el mismo, y sólo tiene un elemento en mi caso particular).

Pero no probamos esta proposición en mi clase, así que me pregunto si hay otra manera de probar que $R$ es un UFD sin tener que demostrar primero este lema.

Gracias.

Answer 1

El anillo en cuestión es $\{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q} \mid b\text{ is odd}\}$ , también conocido como $\mathbb{Z}_{(2)}$ .

La propiedad clave de este anillo es que $R^\times = \{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q} \mid a\text{ is odd, }b\text{ is odd}\} = R\setminus 2R$ de lo que podemos concluir que $2R$ es el único ideal maximal.

Es de suponer que ha identificado todos los elementos irreducibles: sólo hay uno (hasta la multiplicación por una unidad), a saber $2$ y es primordial.

No hace falta ningún teorema extravagante para demostrar, a partir de aquí, que $\mathbb{Z}_{(2)}$ es un UFD. Sólo tienes que notar que cualquier elemento $r\in R$ puede escribirse de la forma $r = u\cdot2^k$ , donde $u$ es una unidad y $k\in\{0,1,2,\ldots\}$ .